SÉANCE DU l3 MARS igo5. 701 



Leur classe aussi se détermine aisément. Si l'on écrit l'équation d'un plan 



sous la forme 



Ix + my 4- « s + /> = o, 



on aura par exemple, pour le plan tangent à la première surface, 



/ / = I 4- a" — w' + v^, m = 2ui>, n =z 2au, 



^'^^ j p = IL' [(a- + ! + «=+ ç^-y- + /, (a= + ,) (^.= _ i) + 2a'(a' + i)], 



et de là on déduit facilement que les surfaces sont de la dixième classe. 



En ce qui concerne leur forme, les résultats sont également très simples. 

 Pour la surface (2), il existe une seule forme; en ce sens que, pour passer 

 d'une valeur de a à une autre, il suffit de multiplier les coordonnées ce, y, z 

 par trois constantes convenablement choisies. En ce qui concerne (i'), 

 dont la forme est beaucoup plus compliquée, il y a li&u de distinguer trois 

 cas suivant que a- est supérieur, égal ou inférieur à i. Mais, comme j'ai 

 l'intention de faire construire des modèles, je n'insiste pas sur ces particu- 

 larités. Je me contenterai de remarquer que l'on peut ici réaliser l'applica- 

 tion sur le paraboloïde. Les quantités H, U et V qui figurent dans les for- 

 mules ((j) et (10) ont ici pour valeurs 



„ ^ _^ ( u^+ >•- + «'-■)'+ 4'^- 



xl = I H 5 , 



(20) / U = 2a-i' + 2a- arc tang 



V = 2a-« + a- Lo£ 



u'-h V-+ a- — ^ 1 

 (»-i)^+c'+a' 

 (« H-i)--l- v--\-a-' 



5. Revenant au problème général de la détermination des surfaces 

 algébriques applicables sur le paraboloïde, je remarquerai que la solution 

 particulière précédente suggère l'idée de chercher de simples polynômes 

 y, /, , /"a satisfaisant identiquement à l'équation (3). On reconnaît aisé- 

 ment que la solution générale de cette équation est donnée par les for- 

 mules 



(21) /=AB-CD, /, = i(AB + CD), /, = AD + BC, 

 où A, Ë, C, D sont quatre polynômes assujettis à l'unique équation 



(22) AD — BC = i. 



On semble n'avoir réalisé de cette manière aucun progrès, puisqu'on a 



