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ANALYSE MXTHÉMATIQUE. — La notion (l'écart dans le Calcul fonctionnel. 

 Note lie M. î\Iaurice Fré«;het, présriilée p.-ir M. P. Painlevé. 



Dans scîs Leçons sur le calcul des variations, Weierstrass a fait un grand 

 usage (le ce qu'il appelle le voisinage de deux courbes infiniment voisines. 

 Je me propose de montrer ici l'intérêt qu'il y a, dans le Calcul fonctionnel, 

 à étendre cette notion (sous le nom iVécart) au cas de deux éléments quel- 

 conques. 



Nous considérons donc des éléments de nature quelconque (points, courbes, fonc- 

 tion^, etc. ) tels seulement que l'on puisse faire correspondre à tout couple A, B de ces 

 éléments un nombre bien déterjniné positif ou nui appelé écart (') de A et de B [ re- 

 piésenté par la notation (A, B)] et jouissant des propriétés suivanles : i° l'écart de A 

 et de B e-t nul si A et B ne sont pas distincts et seulement dans ce cas; 2" A. B, C 

 étant trois éléments quelconques, si les écarts (A, C) et ( B, C) sont infiniment jietits, 

 il en est de même de l'écart (A, B). 



Ceci posé, nous dirons qu'une suite d'éléments A,, A;, A„, . . . tend vers l'élé- 

 ment A si l'écart (A, A„) tend vers zéro avec — ('). 



Cj J emploie la dénomination à^écart pnrce que l'on peut prendre, en particulier, 

 pour valeur de (A, B), lorsque les éléments considérés sont des points de l'espace à 

 n dimensions, la quantité qui a été ainsi nommée par M. Jordan. 



(-) Cette définition satisfait aux conditions imposées à la définition la jdus générale 

 de la limite dans la iVote des Comptes rendus du 21 novembre 1904 : Généralisation 

 d'un tliéorème de Weierstrass. En particularisant la nature des éléments, on peut 

 obtenir ainsi, par un choix convenable de l'écart, la plupart des définitions classiques 

 de la limite d'une suite d'éléments. Si l'on prend comme éléments des points de l'es- 

 pace à une infinité dénombrable de dimensions, on retrouve la définition qui a été uti- 

 lisée dans la Note du 27 février igoS {Sur les fonctions d'une infinité de variables') 



en appelant écart des den\ points (x,. .Cj, ^■„. ...) et {.r\, .v'^. ..., j-,',, ...), 



par exemple la quantité 



U' i — -J^'i I _^ J_ \x, — x',\ ^ ^ j_ I x„, — x',^ I ^ 

 1 H- I .i-, — x\\ 2 1 I + I .r, — .r, I ■ ■ ■ H ! \ ^\Xn— x'„\'^ 



Pour l'écart de deux courbes, il sufllt de généi'aliser le voisinage de deux courbes 

 infiniment voisines. On appelle ainsi le maximum de la distance de deux points de 

 même abscisse (ou d'abscisses très peu dificrenles) pris chacun sur une des courbes. 

 Prenons alors deux courbes continues quelconques, mais qui ne sont plus nécessaire- 



