SÉANCE DU 20 MARS igo.*!. 778 



On en déduit facilement les fléfinilions d'élémenl-limite d'un ensemble; d'ensemble 

 dérivé, fermé, parfait, compact ( ' ). ISous dirons maintenant qu'une opération fonc- 

 tionnelle U est définie dans un ensemble E, si à tout élément A de cet ensemble on a 

 fait correspondre un nombre IJ/^hien déterminé; cette opération fonctionnelle sera 

 continue dans E si Ua„ tend vers Ua lorsqu'un élément A„ de E tend vers un élément A 

 quelconque de E. 



Pour arriver aux théorèmes que nous avons en vue, nous dirons encore qu'une opé- 

 ration fonctionnelle U est uniformément continue dans E. si à tout nombre e on peut 

 faire correspondre ï) tel que l'on ait | U^ — Uii|<£ lorsque A, B sont deux éléments 

 quelconques de E, dont l'écart est inférieur à r,. Si ê restant fixe, on change l'opéra- 

 tion U, le nombre t) varie en général. Lorsqu'une famille G d'opérations uniformément 

 continues dans E est telle que, quel que soit e, on puisse lui faire correspondre la 

 même valeur de r^ pour toutes les opérations de G, on dit que celles-ci sont également 

 continues ('). 



Partant de ces clcfiiiilions, nous avons pu démontrer directement, sans 

 nous servir des propriétés des fonctions continues ou des ensembles de 

 j)oints, les propositions suivantes : 



Lorsqu'on a pu définir la limite d'une suite d'éléments (^de nature quel- 

 conque) au moyen de l'écart, on peut affirmer que pour de tels éléments : 



1. Tout ensemble dérivé est fermé ( ' ) ; 

 . II. Toute opération fonctionnelle continue dant un ensemble compact e( 

 fermé y est uniformément continue. 



III. Soit G une famille d'opérations fonctionnelles continues dans un 

 ensemble compact et parfait P dont tous les éléments appartiennent à un 



où f, g, II, ^, t!/, y sont uniformément continues de <„ à i,. Il y a une infinité de repré- 

 sentations paramétriques analoffues. Soit, dans chacune d'elles, le maximum de la 

 dislance de deux points qui correspondent à la même valeur de t. Nous proposons 

 d'appeler écart de Cet (ferla limite inférieure c? de l'ensemble des valeurs de 8. Cette 

 quantité d satisfait à nos deux conditions et jouit de propriétés analogues à celle de la 

 distance de deux points. 



(') Fo//' pour ces définitions la Note déjà citée du 21 novembre 1904. 



(-) Cette définition a été appliquée dans le cas où les éléments sont des nombres 

 parÂscoli (Salle cnrve limiti di una varietà di citn'e : Lincei, i884) qui a obtenu 

 dans ce cas pxrticulier un théorème analogue à Hl. Voir aussi ArzelX, Suite série 

 di fanzioni ugualmente oscitlanti : Académie de Bologne, 190^. 



(') Ce qui montre que toutes le-; définitions claîîiques de la limiie pnivjn t se dé- 

 duire de la notion d'écart. 



