9l6 ACADÉMIE DES SCIENCES 



Soient 



-i 



(A= I. 2, ...,p). 



o intégrales distinctes de première espèce de la courbe entre x et z 



f(x,y,z)^ o, 

 en représentant pai\/r= o l'équation de la surface; désignons par 



<"À. ^l ♦"■'' 



les 2p périodes de I^, qui sont des fonctions de y, et posons 



^•4 = '4 + «'* (^==1,2, ...,2p), 



où i/* et tJ* sont des fonctions réelles des deux variables réelles y' et y", si 

 l'on i\ y =z y' -\- iy" . 



J'envisage les ip équations du premier (le2;ré eu a,, è,, a.,, h.,, ..., ttp, b^, 



(i) a,u\-b,v\+...+ apu''p-~bpv''^ = C„ {k = \,2 ip), 



en désignant par C,, . . ., C.^^, des constantes ree//p5 satisfaisant à l'ensemble 

 des équations du tvpe 



où les m sont des entiers réels relatifs à une substitution quelconque du 

 groupe de l'équation dilTéreutielle linéaire E, que j'ai tant de fois consi- 

 dérée. On sait que le nombre des C restant arbitraires est égal au nombre A' 

 des intégrales distinctes de seconde espèce. 



Je montre que les équations (i) déterminent pour les a et è des fonctions 

 uniformes de. y' et y"; de |)lus, toutes les combinaisons 



«A + ihh 

 sont des fonctions analytiques de y, et enfin l'expression 



(a, + f/^ ) ^ + . . . + {a,, -f- ib,,) ^ 



est le coefficient de dx daiis une intégrale de différentielle totale de pre- 

 mière espèce de la surface. 



Il résulte de celte analyse que les intégrales de première espèce de la 

 surface dépendent de r constantes arbitraires réelles, tandis que les inté- 



