SÉANCE DU 3 AVRIL I9o5. 927 



Je commence à énoncer ce que je nomme le premier théorème d'Abet sur 

 les surfaces : 



Soient I,, Ij, . ., l^ les intégrales de différentielles totales attachées à une 

 surface F, et soient x^, x^, . . ., x„ les points communs à deux courbes (algé- 

 briques) tracées sur la surface et variables dans une même série algébrique : 

 alors, pour que cette série soit renfermée dans un système linéaire, il faut et il 

 suffit que les sommes 



\,,{x,)+...+ \h{x„) (h=i q) 



demeurent constantes. 



La nécessité de la condilion dont on parle s'établit par elle-même, en 

 s'appiiyant sur le théorème d'Abel pour les coiu'bes. Mais la démonstration 

 de la réciproque, quoique simple, n'est pas si immédiate. J'ai posé à la base 

 de celle recherche le lemme qui suit : 



Si, dans une courbe algébrique, on a une série algébrique (irréductible") S 

 de groupes de v points, telle que l'ensemble des n groupes qui passent par le 

 point X variable sur la courbe (y compris le point x compté n fois), se meut 

 dans une série linéaire (d'ordre «v), alors tous les groupes de S sont contenus 

 dans une même série linéaire. 



De ce lemme je tire la suffisance de la condition énoncée, en généra- 

 lisant un raisonnement bien connu de M. Humbert (Journal de Math., 

 1894). 



2. Comme une conséquence immédiate du premier théorème d'Abel, 

 je vais établir qu une surface algébrique, ayant les genres p„, p„, possède 

 Pg — Pn intégrales de Picard de première espèce et 2(^^, — ^„) intégrales de 

 deuxième espèce. 



Pour ce qui concerne la relation entre Tirrégularilé et l'existence d'intégrales de 

 première et de deuxième espèce, j'applique seulement, dans la démonstration que je 

 vais exposer, les propositions données dans ma Note des Rendiconli dei Lincei (sep- 

 tembre 1904), et le beau théorème de M. Enriques, concernant les systèmes complets 

 non linéaires qui appartiennent à une surface irrégulière (Voir Comptes rendus, 

 16 janvier). 



Soit|C| un système linéaire régulier de courbes tracées sur la surface F. D'après 

 M. Enriques, ce système appartient à une série algébrique S, ccP{p =: Pg — /?„), de sys- 

 tèmes linéaires. Si .r,. a:^, . .., x„ sont les points communs à deux courbes d'un de ces 

 systèmes, on aura : 



l/,{^i)-i----+ Ia(.2J„) = C/„ (A = i. .... q), 



où I,, — I,/ sont les intégrales indépendantes de première espèce attachées à F, et 



