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les c sont des constantes. Grâce à la suffisance de la condilion donnée du premier théo- 

 rème d'Abel, le groupe des quantités c,, Cj, c^ ne pourra pas être le même par 



deux systèmes difTérents de S. Donc les c sont susceptibles de x-i' groupes distincts de 

 valeurs. Cela entraîne (]^p. D'un autre côté, en désignant par r le nombre des inté- 

 grales de deuxième espèce, on a (voir ma Note des Lincei, n" 2) : r — q'ÎP- Ces inéga- 

 lités, jointes il l'autre r^9.q, qu'on obtient aisément {voir, par ex.emple, le n° 3 de ma 

 Note dans les Alti dell'Accademia di Torino, 22 janvier), donnent q-=^p. r^=ip. 



3. Le théorème très important que je viens de démontrer est dû à 

 M. Castelnuovo, qui l'a exposé récemment avec une autre démonstration 

 {Comptes rendus, 23 janvier). Ce théorème répond à la question quantitative 

 concernant les intégrales de première et deuxième espèce, attachées à une 

 surface. La question qualitative axah été déjà résolue en réunissant le théo- 

 rème que j'ai démontré en .septembre avec le théorème cité de M. Enriques. 

 Je dois enfin rappelerqueM. Picard a établi de son côté la re]nlion r = p -h g 

 (Comptes rendus, 16 janvier), par une méthode oii joue, d'une manière 

 admirable et systématique, le groupe d'une certaine équation différen- 

 tielle E. 



4. En terminant, je me borne à énoncer ce que je nomme le second théo- 

 rème d'Abel sur les surfaces : 



Soient encore l,, . . , ]ç les intégrales de premicfe espèce attachées à une 

 surface F, et (a;,, x.^. . . ., ;r„) un groupe de points, variable dans une invo- 

 lution R rfe F. La condition nécessaire et suffisante pour que K soit régulière 

 est alors que les sommes 



\,, (.r,) + ... + li,{.x„) (h = i,...,q) 



demeurent constantes. 



On en tire, par exemple, que sur une surface, qui ne contient pas de fais- 

 ceaux irrationnels, toute involution d'une série continue est régulière. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires du 

 second ordre à solution périodique. Note de M. Maxime BÔciier, présentée 

 par M. Emile Picard. 



On sait comment M. Picard s'est servi de la méthode des approximations 

 successives pour démontrer quelques-uns des théorèmes de Sturm sur les 

 solutions réelles des équations différentielles linéaires du second ordre. 

 Plus récemment, M. Mason a employé les principes du calcul des variations 



