SÉANCE DU 3 AVRIL 1905. 929 



pour établir les mêmes propositions et d'autres propositions analogues. Ces 

 deux méthodes ont un avantage incontestable sur celle de Sturm. C'est de 

 se prêter facilement à une généralisation aux équations aux dilFérences 

 partielles. Il en est autrement quanti on se restreint aux équations diffé- 

 renlielles ordinaires, au moins f|uand elles sont linéaires et du second 

 ordre. En effet, la méthode de Sturm est, dans ce cas, bien plus générale 

 que celle de MM. Picard et Mason. Il parait même que, dans tous les cas 

 qui peuvent être traités jiar ces dernières méthodes, la méthode très simple 

 indiquée p;ir Sturm au bas de la ()age 182 du premier Volume du Journal 

 de Liouiille sera applicable. Ainsi la méthode de Sturm aurait aussi l'avan- 

 tage de la simplicité sur les méthodes plus récentes. Toutefois, dans la 

 recherche des solutions périodiques, la méthode de M. Mason paraît l'em- 

 porter sur la méthode de Sturm. 



Je vais montrer ici comment on peut, jusqu'à un certain point, suppléer 

 à ce défaut en traitant ce cas comme simple corollaire des cas les plus 

 simples. 



Soit l'équation différentielle 



(r) g+XA(a;)r=o, 



où A désigne une foncLion positive de période w et X un paramètre. Il 

 s'agit de prouver qu'il existe une infinité de valeurs réelles de 1 pour 

 lesquelles l'équation (i) admet une intégrale périodique, non identique- 

 ment zéro, de période &>. On trouve facilement uneéquation transcendante 

 en "k dont les racines sont'précisement les valeurs désirées. Désignons, en 

 effet, par y, et y.2 les deux intégrales de (i) qui satisfont, quelle que soit 

 la valeur de 1, aux conditions 



y,(a)=i, y\[a)=o, y,(a) = o, y^{a) = 1 . 



Pour qu'une intégrale j>' = c, y, -h CoV-j liL lapérioleco, il faut et il suffit 

 qu'on ait 



c, >', (a -+- co ) ■+- Co r^ (a -f- o>) = c, , 



C| y', (a -I- o)) -)- c.2Y'.^(a + o» ) = c.,. 



La condition nécessaire el suffisante pour que ces deux équations soient 

 satisfaites par des valeurs de c,, (\, qui ne soient pas toutes deux nulles, se 

 réduit facilement à la forme 



(2) y, (a + u) + /^(a-t-w) — 2 = o. 



c. 1;., lyoj, 1" Senies(re. (T. CXL, N" 14 ) I ' 'J 



