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C'est l'équation en 1 qu'il s'agissait de trouver. Nous voulons maintenant 

 démontrer que cette équation a une infinité de racines réelles. 



A cet effet, considérons l'équittion y^i^i + co) = o qui, d'après un ibéo- 

 réme londanienta| de Sturm, a un nombre illimité de racines réelles et 

 positives. Si nous désignons ces racines, rangées par ordre de grandeur, 

 par !(,, A,, >i2, ..., la fonction y.^(a:^ aura pour la ^aleur ^X = ^^ exactement 

 n racines dans l'intervalle a <^ .r <^ rt + t». 



ïîn se servant de la formule J', j'!, — J^j', = i» o'i trouve que le premier 

 membre de (2) se réduit, quand }^ a une des valeiu's "kf,, 1,, . . ., à la forme 



[ V'j. (a + w) - ' 1 • 



L v/i («= + '") j 



Or, quand >. = X„, la quantité y, (a + to) est positive, si n est impair, 

 négative si n est |)air. H s'ensuit que dans chaque intervalle '^n='^=\+\ 

 l'équation (2) a au moins une racine. Ainsi, l'existence d'une intiuité de 

 valeurs réelles de 1 pour le-quelles l'équation différentielle (i) a une solu- 

 tion de période w est démontrée. 



On peut facilement aller un peu plus loin si l'on considère les racines de 

 l'équation en 1 



On prouve ainsi, par des raisonnements tout à fait analogues à ceux dont 

 nous venons de faire usage, que, /c étant un entier positif quelconque, il 

 existe au moins deux valeurs réelles de >. pour lesquelles l'équation (i) a 

 une solution de ])ériode w qui s'évanouit exactement 2X; fois dans l'inter- 

 valle a <^ r'^a -\- (1), jiourvu toutefois qu'on compte deux fciis une valeur 

 de >. pour laquelle toutes les solutions de (1) ont la période w. 



La méthode dont je me suis servi a l'avantage de s'appliquer sans aucune 

 moilification à l'écpiation 



(3) 5Ï+/'(^)£ + ^(''''^)->' = °' 



où la fonction périodique p n'est restreinte qu'à la condition 



pdx =^ o. 



f 



et la fonction q, périodique en ce, dépend de 1 de telle façon que, quand 1 

 croît de lii L, q croisse continuellement, pour chaque valeur de x, d'une 

 valeur négative ou nulle à + co . U est même suffisant que cette crois- 



