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là solution la plus générale (' ). Elle cortsisLô à prendre les équations 



> = O, -— = O, -— - = G, 



Aa Aa- 



où V = o donne l'intégrale complète de l'équation adjointe 



F (a;, y» s, p. q) = o. 



3. On pourrait être tenté de croire que d'une manière analogue dans le 

 cas de quatre variables (n = 3) les équations correspondantes 



AV _ A^V _ A^' 



A* Aa'^ ' Aa' 



nous fournissent la soluliort la plus générale. 



4. Je montre qu'î7 n'en est pas ainsi en général. Je vais montrer ici cela 

 en particulier pour l'équation 



( 2 ) dx- -h dy^ -+- di- = ds- 



qu'on trouve dans le Mémoire de M. Darboux(-)où est exposée la méthode 

 générale de M. Darboux pour exprimer sans aucun signe de quadrature eu 

 fonction d'un paramètre arbitraire les valeurs les plus générales dey,, 

 y-2J •■•'Jn. satisfaisant à l'équation 



/(dy,, dy.,, ..., dy„) = o, 



(')!! f est une fonction homogène quelconque à coefficients constants des 

 différentielles dy,, dy.^, . . ., dy„. 



5. Je vais montrer, autrement dit, qu'on ne peut pas dire que les a;, y^ 

 z, s tirées des équations 



1 s— Xo'V — Jo J - So- = «3' 



Wj { o II n „ 



-x„x-y^Y-z^z = a.^, 



(') MoNGE, Supplément oii l'on fait voir queles équations aux JilFérences ordinaires 

 pour lesquelles les conditions d'intégrabilité ne sont pas satisfaites sont susceptibles 

 d'une véritable intégration, eltS. {Mémoires de l'Académie des Sciences, 1784). Voir 

 Darboux, Solutions singulières des équations aux dérivées partielles [Mémoires des 

 Savants étrangers de l' Académie, i883). — Goursat, Leçons sur l'intégration des 

 équations aux dérivées partielles du premier ordre (Cliaj)itre IX, § 76). 



(*) Darboux, 5m/' la résolution de l'équation dx^+ dy'^+ dz-^=^ ds- et de quelques 

 équations analogues (Journal de Liouville, 4" série, t. III, 1887)» 



