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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation différentielle y" -^ 1. k{x) y = o. 

 Note de M. Max Maso.v, présenlée par M. Emile Picard. 



Beaucoup de questions liées à l'équation difTérentielle 



(i) y"+\k{x)y = o 



sont des cas spéciaux du problème : Déterminer le paramètre 1 de façon 

 qu'il existe une solution de l'équation (i) qui satisfasse aux conditions 



(2) 



j a^y{x,) -^ a.^y{x.) -+- a^y {x,) + a,y'{x.,) = o, 

 ' *.7(^0 + b.y{Xi) + bjy'(x,) -h b„y'(x.,) = o. 



Je me bornerai ici au cas où l'on a c^, , = d^,,, en écrivant </« = a,-i/f — «a^j. 



Pour qu'il existe une solution autre que zéro des équations (i), (2), il 

 faut et il suffit que 1 soit racine d'une fonction transcendante D(>^)- Si X est 

 racine simple de D(X), il y a une seule solution ï), ; si )i est racine double 

 il y en a deux, Xi,, 7)3. 



D'autre part, si >. n'est pas racine de D('X), il existe une solution de 

 l'équation 



(I') y" + lK(x)y=f(x), 



qui satisfait aux conditions (2) quelle que soit f(x). Il faut et il suffit que 

 la fonction f{x') satisfasse à la condition 



/ /r,, dx — o, 

 ■Il 



si 1 est racine simple de D(X), et aux conditions 



' fri^dx = o, j fr,„dx:=o, 



si \ est racine double. 



On prouve l'existence d'une suite infinie de racines réelles >.,( de D(X) 

 d'une manière analogue à celle dont j'ai fait usage dans certains cas parti- 

 culiers {Math. Annalen, t. LVIIl, 1904; Journal de Mathématiques, 5* série, 

 t. X, 1904). 



Considérons les valeurs de l'expression 



J(j)=r"(rT^^^--(r/)i:. 



