SÉANCE DU 17 AVRIL IQoS. 1087 



formée pour les fonctions y qui satisfont aux équations (2) et à la condition 



/.Ta 

 Av- dx ^= I (A >■ o dans une partie au moins de l'inlervalle). 



.-, 



Il existe une limite inférieure Iq pour ces valeurs 3 (y) pourvu qu'on 

 ait, pour toutes les fonctions \, 



(.ry):;;=o, 



c'est-à-dire si les coefficients a, b des équations (2) satisfont à une des 

 conditions suivantes : 



1° '^^12 = 0, ^3^ = 0; 



3° '^23«',« — ^^';, = 0, (i,^d^,>o, d^^d^^>o. 



La limite inférieure X„ est racine de D( a). En effet, s'il en était autrement, 

 on trouverait qu'on pourrait déterminer une fonction /"(or), telle que la 

 solution de l'équation 



y"+1,ky = J 



satisfasse à toutes les conditions du problème minimum et donne à l'expres- 

 sion J une valeur moindre que X(,. 



Ajoutons au problème de minimum la condition 



/ A r„j(7.r = o. 



Soit 'X, la limite inférieure nouvelle des valeurs de J. Supposons d'abord 

 que X, = \o- Si a„ n'était pas racine double de D(X), il y aurait une solution 

 de l'équation 



y"+\kY = J, 



sous les conditions (2), pour chaque fonctiony, pourvu que 



Mais, comme auparavant, on démontre que cela est impossible. Si \^ '^Iq, 

 on tiémontre d'une manière analogue que 1, est racine de D(>.), et ainsi 

 de suite. 



Il existe donc une suite infinie de racines \„ de D(>.) et de solutions y^ des 

 équations (i), (2). La fonction y^ est solution du problème 



J (y) = minimum 



