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SOUS les conditions (o.) et 



I Ay^(h: = \, j Ay,rcte = o (j = o, i ,...,« — i), 



et \ est la valeur minimum rie 3. On suppose 



Adx ^ o; 



i: 



dans le cas contraire le théorème doit être légèrement modifié. 



Si la fonction A change de signe, on arrive à ime seconde suite infinie 

 de valeurs X„ en remplaçant la condition 



Aj-dx-=ï par / A y- rte = — i. 



La méthode ci-dessus s'applique avec des modifications très simples à 

 l'équation 



y" + pOf)y+ [lA(cc) — B(x)]y= o, 

 où B(x) > o. 



Examinons de plus près les solutions périodiques de l'équation (i^ 

 quand la fonction A est périodique avec la période o>, c'est-à-dire les solu- 

 tions de l'équation (i) sous les conditions 



(I) j{a)-y(a + <^) = o, y(a)-y(a-hi^)=o. 



Désignons les valeurs X„ dans ce cas par >.,_„ et les solutions y„ par >',,„. 

 Ecrivons de même X,,». '^^3,7, et Vo,,,. Van pour les conditions 



(II) y(a) = o, j(a-f-co)=o, 



(III) y(a)=o, y(a -h co) = o, 



De la définition de >., „, l^^n, >^3,„ comme valeurs niinima, on démontre 

 qu'on a 



^{,n='^2,n ='^i.n-(-l' 

 '■4,n= '^3,n-t-i = '^i.n-i-i • 



D'ailleurs, on sait par les théorèmes de Sturm que les fonctions yo^, j',,,» 

 ont exactement n racines dans l'intervalle a <| .r <] a + a>, si l:i fonction A 

 ne change pas de signe. D'où l'on démontre facdement le théorème : 



Si la Jonction A ne change pas de signe, les solutions périodiques y ^.^„^-^, 

 yt,2m ont exactement -xm racines dans l'intervalle aSx <^a -h (^. 



