SÉANCE DU 8 MAI igoS. 1 227 



et, à cause de la propriété supposée aux deux surfaces, 



(4) DD; + D"D, = o. 



Des égalités (3) et (4) on déduit 



D, = ±jD, D; =:qz<D". 



Portons ces valeurs deD,, D'^ dans les équations (2) et comparons les 

 relations obtenues aux relations (i) ; il viendra 



Ces égalités expriment que le réseau conjugué commun est exclusive- 

 ment composé de géodésiques. La solution du problème est dès lors la sui- 

 vante : appelons, en Géométrie non-euclidienne, comme en Géométrie 

 euclidienne, surface de Voss toute surface possédant un réseau conjugné 

 exclusivement composé de géodésiques. Cela posé, une des surfaces cher- 

 chées, (S), par exemple, pourra être prise arbitrairement parmi les sur- 

 faces de Voss; la surface (S,) sera alors une quelconque des deux surfaces 

 (symétriques l'une de l'autre) définies par les relations (5). Ces deux 

 formes possibles de la surface (S,) appartiennent à une série simplement 

 infinie de surfaces de Voss applicables sur la surface (S) et dont la seconde 



D" 

 forme fondamentale est ADc?«--|- j-dv-, où h est un paramètre variable ('). 



Il est clair que la méthode actuelle s'applique aussi bien à la Géométrie 

 euclidienne qu'à la Géométrie non-euclidienne. Les résultats ci-dessus sont 

 vrais dans les deux Géométries; nous les avons déjà énoncés, en ce qui 

 concerne la première, dans une Note insérée aux Comptes rendus (séance 

 du 9 décembre 1901). 



Proposons-nous de déterminer les surfaces de Voss de la Géométrie non- 

 euclidienne. Nous nous placerons, pour fixer les idées, en Géométrie ellip- 

 tique, et nous ferons usage des méthodes de la Géométrie intrinsèque (voir 

 Comptes rendus, séance du 8 août 1904). La surface étant sujiposée n'être 

 pas minima, rapportons-la au réseau conjugué («, v) formé de géodésiques 

 et attachons-lui un tétraèdre OjOaOjO,, aulopolaire par rapport à la qua- 



(') Parmi les surfaces de Voss se trouvent les surfaces minima. Si la surface (S) est 

 minima, il en sera de même de la surface (Sj) et, aux lignes asymptoliques de chacune 

 des surfaces, il correspondra, sur l'autre, le réseau des lignes de courbure. 



