SÉANCE DU 8 MAI iqo5. I33l 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie îles nombres et 

 la théorie des fonctions. Noie de M. Georges Rémoundos, présentée par 

 M. Appell. 



1. Je me propose de communiquer à l'Académie quelques nouveaux 

 résultais, auxquels j'ai été conduit par l'application de ce théorème fonda- 

 mental de M. Borel, dont j'ai montré la fécondité dans mes Communications 

 antérieures (') et le théorème d'Hermile-Lindemann, dont j'ai signalé 

 l'analogie avec le précédent dans ma dernière Communication (^Comptes 

 rendus, 1 6 janvier i9o5)('). 



Considérons une fonction /(s, ii) de la forme 



(i) f{z, u) = «"+ A.(=)«"'' + A,(.^);<-= + ...H- A,(«), 



oi\ les A,(r) désignent des fonctions entières quelconques et soit e""' le 

 plus grand des modules maximum de ces fonctions. Dans mes travaux anté- 

 rieurs, j'ai démontré que l'on doit considérer comme exceptionnelles les 

 valeurs de u, pour lesquelles on ait 



(2) /(.,«) = Q(=y"", 



où Q(s) désigne une fonction entière croissant moins vite que e'*'""'"" 

 (oc étant un nombre positif). Or, je démontre par la même méthode d'éli- 

 mination que l'on doit aussi considérer comme exceptionnelle une valeur u„ 

 de u, pour laquelle on ait 



(3) /(=."„) = Q,(:^)^-''*'=VQ.,(=K--' + ...+ Q,„(=)e"-'=>, 



où les exposants H,(:), H.,^-), •••, H„(s) croissent tous comme M (a), 

 tandis que les coefficients Q,(s) croissent moins vite que e""' ''"' ; // est 

 impossible d'avoir v + i telles valeurs de u. Ce théorème généralise d'une 

 façon intéressante les résultats que nous avions jusqu'ici. Nous sommes en 

 présence de nouxeAnx cas d' exception , qui ne se caractérisent pas du tout 

 |)ar une densité de zéros autre que celle qui convient à i'ortlre de graii- 

 deur e"'"î tout au contraire, on montre aisément, à l'aide du théorème de 



(') Comptes rendus, 20 avril igoS, 8 février igo^, 20 juin 1904, 8 août iqo4- 

 (-) Celle Note sera développée dans un Mémoire qui paraîtra prochainement. 



