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M. Borel, que le second membre de (3) ne saurait jamais se mettre sous la 

 forme 



la fonction Q(^) croissant moins vite que ?""""""'. 



Ainsi, dans le cas où les A,(s) sont d'ordre fini, ces cas d'exception ne 

 cessent pas de satisfaire aux inégalités bien connues entre l'ordre de gran- 

 deur du module maximum et la densité des zéros. 



Citons comme application les valeurs de u pour lesquelles f(^z, u) est de 

 la forme sin W(z) ou bien cos 1'"(:^), ^'(^) étant une fonction entière. De 

 telles valeurs de u sont exceplionnelles et leur nombre ne dépasse pas c, si 

 l'on ne compte pas celles pour lesquelles ^{z) est une constante. 



2. Nous avons un théorème analogue dans la théorie des nombres. 

 Si nous posons 



(4) (j{n) = î/ + Y, «"-'+... + Y^-,«<-l- Y"' 



où les coefficients de q(n) ne sont pas tous algébriques, les équations delà 

 forme 



(5) 9r(M) = A.c"-. -t- A,e"=-+-...-(-A,„f«... (a, :^ o, a^ r^^ o, .... a,„^ o) 



qui admettent des racines algébriques sont exceptionnelles et leur nombre est 

 au plus égal à c. 



Ainsi q{u) ne donne, pour des valeurs algébriques de u, des nombres de 

 la forme sin a et cosa (a étant un nombre algébrique) que par exception. 



3. On peut établir aussi les théorèmes suivants : 

 Il est impossible d'ai'oir c + i équations de ta /orme 



(6) q(u) = a,-h A^e""' q{u) = a^ + A.^e'^u ..., q{u) = a^, -h A^+,e'''-*' 



admettant des racines algébriques, si parmi les exposants il y e/i a un qui 

 diffère de tous les autres. 



Il n'y a quun nombre fini d'équations de la forme (6 ) ayant le même expo- 

 sant dans le second membre et admettant des racines algébriques, s'il y a au 

 moins deux coej ficients transcendants distincts dans le polynôme q{u). 



Nous avons aussi un théorème analogue dans la théorie des fonctions. 

 Voici maintenant un autre théorème plus général que le précédent : 



S'il y a une infinité d'équations de la forme : 



q(^u) = rt + A,('"'-f- AjC^M-. . .+ AhjC'"., 



