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s'était proposé d'alteindre. Mais nous sommes convaincus que, ;i l'aide des 

 modifications proposées et dont l'exécution est assez facile, des instruments 

 construits suivant ce système pourront rendre de très grands services 

 à l'Astronomie d'observation. 



MÉCANIQUE. — Sur les forces donnant lieu à des trajectoires coniques. 

 Note de M. Cvparissos Stkphaxos. 



Soit, dans un plan XOY, un point mobile (r, v) sollicité par une force 

 accélératrice (X. Y) dont les deux composantes 



sont des fonctions des coordonnées de ce point. 



Le problème de la détermination des forces (X,Y) faisant décrire au 

 point mobile des coniques, quelles que soient les conditions initiales, pro- 

 blème posé par Bertrand dans une Communication faite à l'Académie des 

 Sciences en 18770, n'a été résolu, paraît-il, jusqu'à présent, que pour le 

 cas où la force aurait en chaque point une direction unique (en général). 

 Bertrand a démontré, en effet, pour ce cas, que la force doit passer par 

 un point fixe ou être parallèle à une direction fixe {- ), tandis que Darboux 

 et Halphen ont bientôt achevé li solution du problème pour ce mêmecas. 



En appliquant le raisonnement de Bertrand au cas où la force (X, Y), 

 correspondant à un |)oinl donné, serait à plusieurs déterminations ayant 

 (les directions différentes (chaque détermination variant d'une manière 

 continue avec œ et j'), on arrive à ce résultat que si toutes les trajectoires du 

 mobile sollicité par la force (X, Y) sont des coniques, il faut bien que pamii ces 



(') Sur la possibilité de déduire d'une seule les lois de Kepler et le principe de 

 l'attraction universelle (Comptes rendus, t. I.WXVIII). 



(^) A'ote sur un problème de Mécanique [Ibid.). Voici la démonsiralioa de Ber- 

 trand : « Si l'on suppose, en un poinl, la vitesse dirigée dans le sens de la force, le 

 rayon de courbure de la trajectoire en ce point sera infini; or une conique dont, en un 

 poinl, le rajon de courbure est infini est nécessairement une ligne droite, et des 

 droites en nombre infiui, puisqu'il en passe par chaque point, sont au nombre des tra- 

 jectoires possibles. Ces droites ne peuvent d'ailleurs se couper qu'en un point, où la 

 direction de la force soil indéterminée, et l'on en conclut qu'elles doivent être paral- 

 lèles ou passer par un même point ... «. 



