SÉANCE DU l5 MAI IQoS. iSlQ 



trajectoires soient comprises toutes les tangentes à une courbe donnée, ce qui 

 exige que la force (X, Y) soit constamment tangente à cette courbe. 



Il reste donc à Irom er s'il y a des forces (X, Y) constamment tangentes 

 à quelque courbe qui fassent décrire au mobile des coniques quelles que 

 soient les conditions initiales. 



Avant abordé le problème en question dans le cas général, par une mé- 

 thode directe, nous sommes parvenu à reconnaître ([ue, en dehors des 

 solutions comprises dans le cas considéré par Bertrand, ce problème 

 n'admet aucune autre solution. 



Voici en quelques traits la marche que nous avons suivie : 



L'équation différentielle des coniques, écrite au moyen des dérivées de r 

 et y par rapport à une variable indépendante quelconque, est 



S(i2)ni5) + 45(i2)==(2/,)-45(.2)(i3)(.4) 



+ 4o(i3)- — 9o(i2)(i3)(2'î) = o, 

 étant posé 



(12) = x' y" — y'x", (i3) = •^'j'" — v' x" , .... 



A l'aide de cette équation on trouve que la condition nécessaire et suffi- 

 sante, pour que toutes les trajectoires d'un mobile sollicité par la 

 force (X, Y) soient des coniques, est exprimée par l'évanouissement iden- 

 tique d'une certaine expression 



45(Y:i;' - X/)^ E + ^(Y^-' - X/) F + G 

 où 



E = X^'^+XY(f-f)-Y-^f, 

 ôy \ a-r ay j Ox 



et où F et G désignent deux polynômes homogènes par rapport à x' , y' , de 

 degrés respectifs 3 et 6, et dont les coefficients sont des fonctions de X 

 et Y et de leurs dérivées partielles des trois premiers ordres. 



La même condition est également exprimée par le système des trois 

 relations E = o, F =: o, G = o, qui doivent avoir lieu identiquement. 



L'équation différentielle E = o exprime que la force (X, Y) doit rester 

 constamment tangente à une même courbe. 



L'étude des relations F = o et G = o, dont chacune équivaut à un système 

 d'équations différentielles, fait voir, tout d'abord, que chacune d'elles 



