SÉANCE DU 22 MAI igo5. 1879 



naître des cas de plus en plus étendus où la convergence a lieu; elles 

 donnent, presque toutes, des cas Vlifférents de convergence, empiétant 

 quelque peu les uns sur les autres. -De sorte qu'il est possible de nommer 

 des fonctions satisfaisant à certaines des conditions de ^convergence que 

 j'ai indiquées sans que leur somme satisfasse à aucune de ces conditions. 

 Pour supprimer ces difficultés, il faut donner un énoncé contenant tous 

 ceux que j'ai mentionnés et s'appliquant à la somme de deux fonctions 

 quand il s'aj^plique à ces fonctions. J'ai obtenu un tel énoncé en modifiant 

 légèrement certains raisonnements de Dirichlet, Riemann et Lipschitz. 



Soit/^(a;) une fonction de période 27t, continue ou non, mais ayant une 

 intégrale. Le mot intégrale sera pris au sens de Riemann ou à celui que je 

 lui ai donné, comme l'on voudra; la portée seule des résultats sera modifiée 

 suivant le sens adopté. On sait que, si l'on pose 



9(0 = J\^ + 2O + f{x - ot) - 2/(œ), 



et si S„, désigne la somme des m -+- i premiers termes de la série de Fourier 

 de /, pour la valeur x, on a 



'XO. 



D,„=^[S,„-/(^)]= / l^s\n(^-m + i)uh 



I V^sin(2m -h i) f/t 



J, sint "• 



^ s,n(2,n4-i)/fg 



■2 m -h i) 



1 = 1 (21 — 11 



sinl t 



df. 



m m — I 



la plus grande valeur de i est — ou suivant la parité de m, mais, dans 



les deux cas, £„, tend vers zéro avec — • De là résultent les inégalités 



|D 



/« I = l ^m 



\<!^{t)\dt +^ / 



» Il t-' 



?(0 



sin t 



<? M 



sin t 4- 



2 /« -f- I 



D 



m = I 'm 



+ (2/nH-i)/ |o(/) !>//+/ 



?(0 



sinï 



? < + 



t: 



2/?l -h I 



Sin l 



1 m +- 



dt. 



dt. 



