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Donc, la série de Fourier de f sera convergente au point x si : 



i" I ç(i) I est, pour t ^ o, la dérivée de son intégrale indéfinie, et si 



r\m-4^±^dt (s>o) 



J. \sint sin(f-+-ô) ^ ■' 



tend vers zéro avec S. 



Cet énoncé est compliqué; de plus, il ramène l'étude de la convergence 

 ou de la divergence d'une expression à une étude analogue pour d'autres 

 expressions; mais, d'une part, on pourrait faire la même objection aux 

 conditions de Lipschilz, du Bois-Reymond, Dini, Jordan, qu'il s'agit de 

 réunir en un énoncé unique et, d'autre part, une partie de la complication 

 disparaît si l'on consent à perdre en généralité. 



On peut remarquer, par exemple, que la condition i° est vérifiée si x 

 est un point de continuité ou un point régulier, c'est-à-dire un point en 

 lequel f(^x -f- o) et fi^x — o) existent et vérifient l'égalité 



f{x + 0)4- f{x - o) - if{x) = o. 



Quant à la condition 2°, qu'on peut écrire de bien des manières, elle 

 est vérifiée lorsque les deux intégrales 





J{jc±t±Z)-f(:c±t) 



dt '(^>o) 



tendent vers zéro avec S. 



L'énoncé indiqué contient tous les énoncés mentionnés au début; voici, 

 par exemple, comment on arrive à l'énoncé de Dirichlet. 



Ce qui fait la difficulté de l'étude de la condition 2°, c'est le signe | |; ce 



signe peut être supprimé quand —. — varie toujours dans le même sens, et 



l'on vérifie alors facilement que la condition 1° est vérifiée. D'ailleurs, si 

 9(/) varie toujours dans le même sens, on voit de suite, en imitant les rai- 

 sonnements de M. Jordan, que(p(i) peut être considérée comme la diffé- 

 rence de deux fondions <^^{t), <f2(f)^ telles que '^'. et "ï^}^ soient tou- 



jours dans le même sens. Cela conduit à l'énoncé de Dirichlet et à celui 

 de M. Jordan. 



Le théorème indiqué fournit facilement une généralisation d'un théo- 

 rème de M. Féjer : Si l'on applique aux séries de Fourier le procédé de som- 

 mation par la moyenne arithmétique qu'emploie M. Féjer, la série représentera 



