l382 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



que 1 = -T — ^^T-T- se transforme |)rojectivement, quand on fait subir à (C) 



un déplacement, pour en conclure qu'on aura l'un des invariants chefchés 

 en prenant le schwarzien 



c'est bien l'invariant fondamental obtenu par Sophus Lie; il se présente 

 ici comme l'analogue de la courbure ou de la torsion d'une courbe quel- 

 conque, puisque 1 définit la direction de la tangente, et aussi du plan oscU? 

 lateur de (C). 



2. A un autre point de vue, on aura des segments invariants associés a 

 chaque point M de (C), en prenant, d'abord le segment MT, dont les pro- 

 jections sur les trois axes de coordonnées sont 



,-T, djs , dy dz 



as ds as 



et ses dérivées géométriques, prises par rapport à s. La première est un 

 segment MU, de longueur un, orthogonal à MT, et dont les projections 

 sont 



MU: a'=^, P'=^, y=^. 



Nous considérons en même temps le segment MV, qui est, comme MT, 

 de longueur nulle et orthogonal à MU, et tel que le produit géomé- 

 trique MT.MV soit égal à 2. Les projections sont 



1 a'- 1 3'- I — v'2 



MV : a"=- — —, b"^—j^, c"^- — ^— 

 abc 



Ces trois segments MT, MU, MV définissent, en réalité, un svslème de 

 forme invariable, dont le mouvement est ainsi associé à (C). Et l'on obtient 

 ainsi des formules, analogues aux formules classiques de Serret-Frenet, 

 à savoir : 



da , db „, de , 



da" , , db" ,„, de» . 



d'^' I /i "\ d'ii 1/1/ i,,\ d-i' I ,, „. 



