SÉANCE DU 22 MAI 190^. l383 



Elles introduisent l'invariant 



'dW 



d\yY- fd^sY 

 ds^ ) '^ \ ds^ ) 



qui n'est antre que 2<ï»; et redonnent tous les résultats de Lie sur les inva- 

 riants cherchés et la congruence des courbes minima. 



La rotation instantanée, dans le mouvement considéré, a pour projection 

 sur les trois axes de coordonnées 



i(J«-«"), y = i(Jè-è"). r=i(]c-c"). 



Sa grandeur est yJ. L'axe hélicoïdal instantané coïncide avec l'axe du 

 cylindre de révolution osculateur à la courbe (C), déjà considéré par 

 Scheffers; il rencontre à angle droit le segment MU en un point o) tel que 



Mco = j. 



3. Les résultats précédents peuvent être utilisés, comme nous le mon- 

 trerons dans un travail plus étendu, pour la théorie générale des courbes 

 et des surfaces. Tous les éléments fondamentaux relatifs à une courbe 

 gauche dérivent de ceux qui se rapportent à ses deux développées minima ; 

 tous les éléments fondamentaux d'une surface dérivent de ceux qui se 

 rapportent à ses courbes minima. 



Pour ne citer qu'un exemple, la courbure moyenne d'une surface est 

 donnée par la formule 



I / I I \ , „, dP 



où s est le pseudo-arc d'une courbe minima (C) de la surface, J son inva- 

 riant fondamental, et 2P la projection du segment MV, défini plus haut, 

 sur la normale à la surface. 



4. On peut également rattacher la théorie générale des courbes, et celle 

 des lignes de courbure d'une surface, à l'étude des surfaces réglées à géné- 

 ratrices isotropes. C'est ainsi que l'on est conduit, par exemple, aux for- 

 mules bien simples 



x-hiy=-P(t)-^tV'{/), x~iy = Q{t) + tQ'(t), 

 ^_ P'{t) + t'-Q'(t) ^_ P'(0 + <^Q'(0 



S J S j 



pour exprimer, en fonction explicite d'une nième variable, l'arc s et les 



