' SÉANCE DU 29 MAI igoS. l439 



Posant 



Z(r.)-^=W„(:;) et lim W„( = ) = W(:;), 



les relations (i) et (2) donnent 



(4) (az + b){cz + d) ^^^^ - W = o, W = C(az. + bY'(cz ^ d)">. 



Pour z — a:, Z(z), qu'on suppose expressément développable en série, 



.Ç| 5.> S-, 



tend vers s^ et il est facile de s'assurer qu'il en est de raêrae de ^■, VV(3o) 

 doit donc être nul, ce qui nécessite 



C = o et W = o. 



3. Les polynômes U„, V„ sont définis par la loi de récurrence 



U„^, -(2« + i)(Pc + Q)lT„-t- (/rR^- co^)U„^, = o, 



V,,^, - (2« + 1) (P= + 0)V„+ (n^'R- - to-)V„_, = o, 



P = rtc, 20 = ad + bc, 2K=^ad — bc, 2(u = ^, p — o. 



De plus, 



(az -h b) (cz + d) -^V„ = ln(Vz + Q) - <o] V„ - (/r R^ - or) V„_,. 



Supposons a, b, c, d, q réels et, pour fixer les idées, «c ■< o. Soit v le plus 

 petit entier positif vérifiant les relations 



0<v-i<|^j<v : 



la suite 



Y V V V V 



a les propriétés d'une suite de Sturm, et l'on conclut de son examen que l'équa- 

 tion 



n'a pas de racines réelles dans l'intervalle — -, 



Dans ces conditions, la suite 



V„, — V„_,, \„.,_, — V„_,, ..., ±\\, =^-,-, (/;>v — i) 



