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qu'oa obtient, en éliminant les 9'. r/„^, entre (i) et les relations 



_ yoQ, + ... + y„4-,Q„+i _ Qî — _ Q« _ Q«±> 



Ih Pi p,i — I 



EL 



dqj 



Qj=lf. (y=2,3, ...,/tHhl). 



C'est en m'inspirant de cette Note que j'ai obtenu ma méthode pour la 

 résolution du problème dans le cas général. 



2. J'ai d'abord montré que le problème (ainsi que pour « = 2) est équi- 

 valent à trouver, sans aucune quadrature, toutes les lignes intégrales (ou 

 enveloppes de caractéristiques) de (2) avec l'équation V = o. 



Ensuite, d'une proposition générale que j'ai établie sur la théorie des 

 enveloppes dans un hyperespace, j'ai déduit les théorèmes : 



Pour qu'une suite ^ simplement infinie de caractéristiques de (2), admette 

 une enveloppe, en dehoj's de l'intégrale singulière, il faut et suffit qu'une des 

 conditions suivantes soit remplie : 



I. Que les équations 



n 



(3) V(.r ,x„+,,a ,r/„)=o, 2kr"'~°' 



1=1 



n 



(4) -— 6/, + -J— =0, o.-\-]'---[- — :—- rt,=o, (/« = 2,J,...,//— i) 



soient à la fois vérifiées pour les valeurs a,(t ) et b/^(t), déjinissant i, pourvu 

 que ces valeurs ne vérifient pas identiquement, quel que soit t, toutes les n équa- 

 tions de la première colonne ( ' ). 



II. Que 2 appartienne à une intégrale générale, sans appartenir à aucune 

 intégrale complète de (2). 



III. Que i appartienne à n — 1 intégrales générales n^(i = o, i ,...,« — 2), 

 chacune obtenue par l'élimination des a, entre les équations 



ir / \ •D( V, 0.t) / , o \ 



V = o, rp/rt,, ..,a„) = o, ^ = o (/i = 2, o n); 



*-* V' n '-''II} 



oii les 0,=^ o sont, dans l'espace a,, .... a„, n — 1 hypers urf aces qui se rac- 

 cordent tout le long de la ligne image des valeurs a, définissant ^, et pas 

 ailleurs. 



(') L'ensemble de ces formules (3) el (4), ilu(|iu-l an \a déduire le résultat, n'est 

 autre, au fond, que celui de M. Zervos. 



