SÉANCE DU 4 JANVIER 1909 17 



Les systèmes que je veux considérer sont ceux qu'on rencontre dans 

 l'étude des questions analogues relatives à un nombre quelconque de dimen- 

 sions. Ils se présentent sous la forme 



(3) ^='S/''*^''-' 



dl 



OÙ les indices i et A" peuvent prendre les valeurs i , 2, ...,«, et où les quan- 

 tités p,vt satisfont aux deux conditions 



Ils admettent, eux aussi, l'intégrale quadratique 



(5) ^ a;,-:= const., 



de sorte que toute solution particulière définie par les formules 



Xi = x° 



conduira à l'intégrale linéaire 



2^ ■X? a;,=r COIlSt. 



Indépendamment de leur intérêt cinématique, les systèmes (3) méi'itent, 

 au point de vue analytique, une étude approfondie. On peut leur appliquer 

 une remarque que j'ai déjà faite pour le cas de trois variables et montrer 

 que tout système linéaire bomogène admettant une intégrale quadratique, à 

 coefficients constants ou variables, peut se ramener à la forme (3). Par suite, 

 si l'on considère un système linéaire quelconque 



(6) -77 =y' «,t^t (?, /. =1, 2, .. ., /i), 



ai ^^ 



A 



et si on lui associe le système que j'ai appelé adjoint (Comptes rendus , t. XC) 



du,: 



<') S=-I 



aiciUln 



l'ensemble des systèmes (6) et (7) admet l'intégrale quadratique 



(8) y ^ UjXj^:^ const. 



et peut, par suite, être ramené à la forme (3). 



M. Jobn Eiesland, dans un Mémoire inséré à V American Journal of Ma- 

 C. R., 1909, I" Semestre. (T. CXLVIII, N» 1.) 3 



