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thematics (t. X\, p. 245), et M. Ernesto Laura, dans deux Notes insérées 

 en 1907 et 1908 aux Atti délia H. Accademia délie Scienze di Torino (16 juin 

 1907 et 12 janvier 1908), se sont occupés du cas particulier du système (3), 

 où n est égal à 4 ; et ils ont obtenu ce beau résultat, qui peut être con- 

 sidéré comme la généralisation de ce que l'on sait pour n égal à 3, que 

 l'intégration du système peut s'effectuer par le moyen de deux équations de 

 Riccati. Je me propose d'établir ce théorème par des méthodes qui peuvent 

 s'étendre, dans une certaine mesure, aux cas généraux. 

 Considérons donc le système 



/ V '^■^i V / • o r \ 



(9) ~dï ~2dP"'^'' («=1,2,3,4), 



OÙ l'on a encore 



(10) Pii=0, pi,,->rp,,i=0, 



et qui admet l'intégrale quadratique 



(11) ^ jj-mconst. 



La voie que je vais suivre repose sur la considération des solutions 

 pour lesquelles la constante du second membre est nulle, c'est-à-dire pour 

 lesquelles on a 



(12) x;-l-,«-|--f- j-5-H.i'i = o. 



Ces solutions ont été déjà considérées par M. Eiesland, mais peut-être ne 

 leur a-t-il pas attribué la place qu'elles méritent dans la théorie. 



La solution la plus générale de l'équation (12) peut être obtenue en 



posant 



\ .r, + ix, =: a(3, .*■;, -t- ixi = — (3â, 



a, [3, Y, étant de nouvelles inconnues auxiliaires, qui ne sont même pas 

 pleinement déterminées; car il est évidemment permis, sans changer les 

 valeurs des .x',, d'effectuer la substitution 



(i4) <x\!xh, j3 



jy d\ô/i, y 



où h est une fonction qu'on pourra choisir arbitrairement. Nous ferons plus 

 loin usage de cette remarque. 



