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Si Ton effectue sur les variables a, j3, y, o la substitution (i 4), il faut effec- 

 tuer de même sur u. la substitution 



(■9) 



i d/i 



'^~Ti Tiï'' 



u. pourra donc être choisie arbitrairement. Comme on sait que les systèmes 

 linéaires de la forme 



(l.i: dy 



pour lesquels la somme m -l- ^est égale à zéro, jouissent de la propriété que 

 le déterminant ir, y, — x.^y^ de deux systèmes de solutions particulières est 

 constant, on sera conduit à poser ici 



(20) \'- — o, 



pour donner cette propriété aux systèmes (18) et (18). ils prendront alors 

 la forme définitive 



'la 

 ■-jj— —tb,x -+- (—«3-1- '1*1)0, 



(•2-) { ' 



do 



2-^=^ '«2(3 -t-(^3+''«4)y, 



{2.') 



f 2^ =(— Z'^+iajp + m.y. 



On sait qu'on peut ramener Tintégration de ces systèmes à celle de deux 

 équations de Riccati, qui seront 



l 2 ( ar j ^:r ( — a-i-h i/j:,)o- — lituao — [a^-^- ib;) a-, 



(22) - ^ , 



^ ^['''Ih ^^7u)~ ^■''^-^''"■-'^ ■f---xia.,^-/ -{-b,+ ia,)^\ 



et qui determmeront respectivement les rapports -^ etp- bi ton se reporte 



aux formules ( i3), on constate que ces rapports mutuels sont les paramètres 

 des deiLv familles de génératrices rectilignes de la cjuadrique représentée par 

 l'équation (12). 



li est facile maintenant d'avoir la solution générale du système proposé. 

 Si a, et a,, o^ sont deux systèmes particuliers de solutions du système (21) 



