(27 



SÉANCE DU 4 JANVIER 1909. 21 



qu'on pourra, pour plus de netteté, supposer liés par la relation 



(23) ao,— 0^1 = 1, 



la solution la plus générale de ce système sera donnée par les formules 



(?4) a'r= cj: + c, a,, â'=:co + CiOi, 



OÙ c, (?| désigneront deux constantes arbitraires. 



De même, si [3, y; p,, y, désignent deux systèmes de solutions du sys- 

 tème (-2 1') liés également par la relation 



(25) (3y,-73,=:i, 



la solution générale de ce système aura pour expression 



(26) (3'=:C,(3 4-C3(3,, -/=:Co-/ + C-:f7i- 



OÙ f^, c., seront deux nouvelles constantes. 



Kn portant toutes ces valeurs dans les formules (it), on aura 



2.r,=: cc2(a3 -h -/o) H cc.i(y.'^i-h 07,) -i- c,c,{c/.,^ -+- (5, y) -I- c,C3(a,i3,+ y,di), 

 iXi^ icc^(yè — «[3) -I- icc3{ny^ — a(3,) -H «c,e., (yô, — (3a,) -t- «f, ^^(yiQi — «,(3,), 

 2X,= 00,(0(7 — 13(5)+ cC3(ay, — âi3i) -h c, 0,(7(3(1 + (3o, ) -H c, 03(1X1 y, — 3,5,), 

 2x;— icc,(c.-/ + (3o) + /oc3(a7, + (5(3,) -h tc,o.,(ya| + j3o,) + ic^Ci(Xiy, + (3,0, ). 



Ces formules, à la vérité, ne fournissent que les solutions pour lesquelles 

 la somme des carrés est nulle. Mais il est bien facile de passer au cas général. 

 Il suffit d'y remplacer les produits c,c^ par des constantes quelconques. On 

 obtient ainsi la solution générale par les formules 



(28) 



7^,)+ D,(a,3,+ 07,), 



;3a,) H- jD,(oyi — a,3,), 



■(3d,)+ D,(^y, -Ô3,), 



■ (3ô, ) + /D, (ay, + ô|3i), 



où C, C,, D, D, désignent des constantes entièrement arbitraires. Il est 

 facile de voir qu'on aura 



(■î9) x\ + x\ + œ\+ xl — [iCC,~-!iï)ï),. 



La métbode précédente ne parait guère susceptible de s'étendre au cas 

 où n est (|uelconque. Je me propose de montrer cependant que la considé- 

 ration des solutions pour lesquelles la somme des carrés des inconnues est 

 nulle conduit encore à des simplifications pour les valeurs les moins élevées 



