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Considérons, par exemple, l'équation 



(l) 2s'4- 3s — 2(j- — a) (.r — (3) (.r — 2) = o, 



qui admet quatre points transcendants a, p, 2, 20. Ces points appartiennent 

 à la classe des points que j'appelle /^omi* (de Briot et Bouquet) de première 

 espèce. [On peut caractériser les points de cette espèce en remarquant qu'ils 

 ont pour types les singularités transcendantes des fonctions inverses des 

 fonctions niéromorphes : ainsi, dans un domaine contenant un seul point de 

 première espèce d'une fonction multiforme y {x), on peut uniformiser y {x) 

 en exprimant œ et y en fonction d' un paramètre t, dont x est fonction mèro- 

 morphe.] 



Entourons x = 1 d'un petit cercle y". Sur le contour de y", les branches 

 d'intégrales s, qui sont singulières dans y", se trouvent représentées par 

 l'un ou l'autre de deux développements de Briot et Bouquet procédant sui- 

 vant les puissances de {x — 2), C'fx — 2)^' et (x — 2), Cl(x — 2)^' [ces 

 développements convergent sur le contour y" pour les petites valeurs 

 de |CÎ|, iC!,|[. D'ailleurs on a toujours À'î ' 4- X'^ ' = — i. Supposons, en 

 particulier, que les parties réelles de A', et A" soient toutes deux négatives 

 (c'est le cas le plus régulier). Appelons Z", , Z", les deux intégrales (holo- 

 morphes en x — 2) que donnent les développements pour C'^ == o et C'^ = o ; 

 puis considérons la branche d'intégrale qui, en un point ic du contour y", 

 prend une valeur s voisine de Z", (x) \ ou de Z'^ (•'?)]• Cette branche d'inté- 

 grale présente, à l'intérieur de y", une demi-suite unilinéaire de points cri- 

 tiques algébriques J7„, x_,, a-_o, ... qui converge vers j; = 2; les seules 

 déterminations qui s'échangent dans y" sont alors celles que permute cette 

 demi-suite : elles sont toutes fournies par les deux développements de Briot 

 et Bouquet, dans lesquels on donne à C", et C^ des valeurs liées par la rela- 

 tion ( ' ) 



(2) C';>'^"' = c?'=''. 



Voilà (à certaines modifications près, quand les parties réelles de Xj, X'., ne 

 sont pas toutes deux négatives) ce que donne l'étude de l'équation (i) dans 

 un domaine contenant un seul point transcendant : les substitutions fonda- 

 mentales subies par C\ et C, sont les substitutions (^C\ , i^'™^' C'j), (CI,, e'-'"*'Cl), 

 et le passage d'un paramètre à l'autre s'effectue au moyen de la relation (2). 



(') Cj et G, ne sont définis qu'à des facteurs constants prés : on devra choisir ces 

 facteurs convenablement si Ion veut ol) tenir, sous la forme ( 2 ), la relation de Cj à C , . 



