SÉANCE DU /} JANVIER 1909. 27 



Comment, maintenant, opérerons-nous le passage des paramètres C',', C" 

 aux paramètres analogues fournis par les autres singularités de l'équation ? 

 Entourons, par exemple, le point |3 d'un petit cercle y'; appelons \\, V^ les 

 deux exposants relatifs à ce point, et C',, C, les paramètres qui figurent 

 dans les deux développements de Briot et Bouquet convergents sur le 

 contour y'. Comment C, est-il fonction de C'^ ? 



Traçons encore un cercle D de très grand rayon et suivons une branche 

 d'intégrale :; le long d'un rayon qui s'éloigne indéfiniment à l'extérieur 

 de D. Nous avons, sur ce rayon, soit 



3zz=i^c- — [a(o( + (3) -I- 7]j" H- 36 (5 fini pour .r =00), 



soit 



3; =; — 3,r-— [2(a -H (3) + i] ^- -H 3t (t fini pour ./,• — x). 



Les fonctions et '- de ;r~' satisfont à des équations de Briot et Bouquet 

 dont l'exposant A est l'entier 2. En conséquence, 0, par exemple, est repré- 

 sentée sur le contour D par un développement procédant suivant les puis- 

 sances de x~' et (C, + Tj, \ogx)x~'-, développement où Y], est une fonction 

 rationnelle de a, ^, tandis que C, est un paramètre d'intégration. Comment 

 ce paramètre C, est-il fonction de C] ou de C\ ? 



Pour répondre à ces questions, j'ai recours à la méthode de continuité, 

 méthode qui consiste à faire varier les coefficients d'une équation et à 

 suivre, pendant cette variation, la transformation des intégrales. 



Supposons, par exemple, que nous voulions étudier la nature des fonc- 

 tions C", (C, ), C,(C', ). Nous donnerons dabord à a et [i des valeurs pour 

 lesquelles ces fonctions soient aisément connaissables ; puis nous ferons 

 varier a et p d'une manière continue jusqu'à telles valeurs qu'il nous plaira 

 de considérer. 



Prenons 



(3 = 2a-|-i. 

 Alors l'équation (i) admet, comme solution particuUère, le polynôme 



Considérons une branche d'intégrale voisine de P : cette branche ne peut 

 être singulière qu'au voisinage immédiat des points [5, 2, ce, c'est-à-dire à 

 l'intérieur de y' ou de y", ou à l'extérieur de D. Et il en sera ainsi, non 

 seulement pour l'équation (i) où 



Pin 2a(-t-I, • 



