ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 11 JANVIER 1909. 



PRÉSIDENCE DE M. BOUCHARD. 



MEMOIRES ET COMMU.\ICATIOIVS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les familles de Lamé engendrées par le 

 déplacement d'une surface qui demeure invariable de forme. Note de 

 M. Gaston Darboux. 



Le problème de la recherche de la surface la plus générale qui, en se 

 déplaçant sans changer de forme, engendre une famille de Lamé, c'est- 

 à-dire une famille de surfaces faisant partie d'un système triple ortho- 

 gonal, a été posé pour la première fois, dans mon Mémoire sur la théorie 

 des coordonnées curvilignes ei des systèmes orthogonaux inséré en avril 1878 

 aux Annales de l'École Normale supérieure {-i" série, t. VII, p. 122). J'ai 

 montré que la surface cherchée doit satisfaire à une équation aux dérivées 

 partielles du troisième ordre, dont l'intégration donnerait la solution com- 

 plète du problème et dont on connaît, d'ailleurs, plusieurs solutions particu- 

 lières. Depuis, cette question a été l'objet des recherches d'un assez grand 

 nombre de géomètres, Joseph Bertrand, MM. Petot, Demoulin, E. Cosserat, 

 Adam, Goursat, Lucien Lévy, Haag, etc. Elle est d'ailleurs loin d'être 

 résolue. Si j'y reviens aujourd'hui, c'est pour montrer qu'il y a grand 

 intérêt à associer, à la famille de Lamé qu'on recherche, les deux autres 

 familles qui, avec elle, complètent le système orthogonal. 



Il résulte de mes premières études que si, comme il arrive dans le cas 

 général, la surface cherchée (S) engendre, dans un seul mouvement, une 

 famille de Lamé, le mouvement qui lui est imprimé ne peut être qu'un 

 mouvement hélicoïdal (5e). Il résulte de là évidemment que ce mouvement, 

 conservant la famille de Lamé engendrée par la surface (S), doit également 



C. R., 1909, I" Semestre. (T. CXLVIII, N° 2.) 9 



