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pour axe l'axe des :. La troisième famille sera composée des plans passant 

 par cet axe. Ce cas est banal. Nous pouvons ne pas nous y arrêter. 



Examinons maintenant les équations (B). En les différentiant, on sera 

 conduit aisément aux conclusions suivantes : 



Les H,-, et par suite les p,A, ne dépendent que de deux variables, à savoir 

 p — p, et p^. De plus, on a 



(9) Z. = — p^i, Z, = (320, 7.2=: (3„,— (3,0. 



Par conséquent, quand on connaîtra les ^,/,, tous les cosinus directeurs 

 se détermineront par une simple quadrature. 



Ce second cas pouvant être déduit du cas général par le passage à la 

 limite, nous nous bornerons aux indications précédentes, et nous passerons 

 aux équations (A). 



En effectuant de même les différentiations, nous verrons que H, H,, Ho 

 satisfont tous les trois à l'équation 



,„, d9 àd d9 



(10) <t(9 = — -t-- ^ =0, 



'dp dpt dp, 



et sont, par conséquent, des fonctions de deux variables seulement, par 

 exemple p — p, et p — p,. Il en sera évidemment de même des rota- 

 tions p,;f De plus, on aura 



(11) Z = (3,2— 13.2,, Z,=:(32o— (3o2, >'.2=(3o,— (3,o; 



de sorte qu'ici encore les neuf cosinus s'obtiendront par une simple quadra- 

 ture, quand on connaîtra les {3,^. 



Si, par exemple, on emploie les trois angles d'Euler, on aura 



(12) Z= — sinSsino), Z, = — sinôcosq), Zo^cosÇ, 

 et le troisième angle 'j' sera déterminé par la quadrature 



(■3) (l;=j''-^[-p2„Z,rfp + (32,Zrfp,+ (Z,p„2-Zf3,2)^P2], 



qui porte au fond sur des fonctions de deux variables seulement. Car on a 



et, par conséquent, 



1}/=— p-+-F(p — p,, p — pî). 



Quand on aura les ^,vi. et les cosinus directeurs, les H, se détermineront par 



