SÉANCE DU II JANVIER 1909. 69 



le système (6). 



(.5) ^=P-"- 



qui, avec la condition 



(16) !7(H,)=0, 



devient un système complet et s'intègre avec trois constantes arbitraires. 

 L'une de ses intégrales est 



(17) HZ + H.Z.-f-HjZj^A', 



de sorte qu'on pourra prendre arbitrairement le pas des hélicoïdes. 



Au reste, au lieu de déterminer les H,, il vaut mieux s'adresser directe- 

 ment aux coordonnées rectangulaires a?, y, s, qui seront déterminées par le 

 système 



1 ^=X,(^Y,-jX,+ AZ,), 

 (.8) g := Y,(,rY,— yX,+ A'Z,), 



f ^. = Z,- (X Y,- - jX, ■+ A Z,.). 



On voit que les deux coordonnées x, y se déterminent à part, et l'on a 

 ensuite z par une quadrature. 



Il ne serait pas difficile de montrer que la détermination de x, y peut se 

 ramener à l'intégration simultanée de deux équations de Riccatà, suivie de 

 quadratures. Mais je n'insiste pas sur ces détails. 



Si l'on intègre le système (i5) en écartant la condition (16), on sera con- 

 duit à tous les systèmes triples orthogonaux ayant même représentation 

 sphérique que les précédents. On peut les définir par la propriété suivante : 



Les représentations sphériques des différentes surfaces qui composent une des 

 trois familles du système sont des courbes sphériques toutes égales qui se 

 déduisent les unes des autres par des rotations autour d'un diamètre fixe. 



On est ainsi conduit à se poser le problème plus général : 



Rechercher tous les systèmes triples tels que les représentations sphériques des 

 surfaces qui composent une de leurs trois familles soient des courbes égales, se 

 déduisant les unes des autres oardes déplacements entièrement arbitraires. 



Je remarquerai, en terminant, que les équations (A) pourraient être mises 



