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nous dirons que la série infinie ^ u„ est m fois indéterminée et a pour valeur 



moyenne s. 



(Une série convergente peut être considérée comme une série zéro fois 

 indéterminée.) 



M. Cesàro démontre qu'une série m fois indéterminée avec la moyenne s 

 est aussi m -\- i fois indéterminée avec la même moyenne 5, mais que la 

 proposition inverse n'a pas lieu généralement. 



Le but de cette Note est de montrer comment il est possible, par l'exten- 

 sion de la notion de convergence de M. Cesàro, de donner en général à la 



ce 



série y] -; un sens déterminé même pour des champs extérieurs au domaine 



1 

 de convergence de la série. 



Nous commencerons par énoncer un théorème auxiliaire concernant la 



série m fois indéterminée, théorème qui est en complète analogie avec le 



théorème suivant de M. Dedekind pour la série convergente : 



ce 



Soit la série ^m„ convergente ou oscillante entre des limites finies 

 1 



{\Sn\<^(^on^l.)\ si de plus: i** V J^^ — a„^,| est convergente ; 2*^lima„ = o, 



1 



la série ^M„a„ sera convergente et égale à la série absolument convergente 



Correspondant au théorème de M. Dedekind, nous aurons, pour la série 

 indéterminée, le théorème suivant : 



1. Soit 2,^'n m fois indétenninée ou m fois oscillante entre des limites finies 

 I 

 ( c'est-à-dire 



S'„""w! 



<; const. j. Si de plus : i" les séries {en nombre m -\- i) 



2|A,a„|, V«|A,a„|, ..., V „"'| A,„+, a„ |, 



1 1 1 



sont convergentes (*)\ 2° lima„ = o, la série "^ u,,!^.^ sera m fois indéterminée 



(') A„a„= «„—/•«„+, ...(—i)"! '' )a„+^...(—i )'■«„+,.. 



