SÉANCE DU II JANVIER 1 909. 77 



avec la valeur moyenne égale à la somme de la série absolument conver- 



gente^SrAtUr 

 ^ 1 

 Nous allons appliquer lesdils théorèmes à la série de Dirichlet. A l'aide 

 du théorème de M. Dedekind, M. Jensen (') a démontré la proposition 

 fondamentale suivante : 



Soit V -!L convergente ou oscillante entre des limites finies pour x = x^\ 

 1 

 la série sera convergente pour toute valeur x satisfaisant à la condition 

 R(a.)>R(^„_). 



La proposition de M. Jensen se démontre facilement en substituant 



_ a„ I _ a„ 



dans le théorème de M. Dedekind. 



En appliquant le théorème 1, nous pouvons démontrer le théorème sui- 

 vant, analogue au théorème de M. Jensen : 



I. Soit, pour a? = a?„, ^ -7 m fois indéterminée ou m fois oscillante entre 



1 



□0 



des limites finies ; la série ^ -^ sera m fois indéterminée pour toute valeur x 



1 

 satisfaisant à la condition R(a;) ^ R(^o )• 



La démonstration de I se fait facilement en posant dans le théorème 1 



_ a„ _ I _ fl„ 



Partant de là, on établira immédiatement l'existence d'une droite d'indé- 

 termination (m fois) 



R(x) = >.,„ (— oo<X^<+oo), 



c'est-à-dire telle que, pour toute valeur de x située à droite de cette droite, 

 la série est m fois indéterminée, et que, pour toute valeur de x située à 

 gauche, la série ne l'est pas. Nous aurons évidemment : abscisse de conver- 

 gence A„>A,>A,...>X„,>X„,^, .... 



(') Tidsskriftfor Mathematik , 5'' série, t. II, 1884. 



