78 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Correspondant au théorème suivant dû à M. Cahen (') 

 Si 



-, > 11- losIS,, 



/o^o, /o= 1'™ Slip. 



Jog/j 



nous aurons ici le théorème analogue 



II. Si 



loe— 2 / n 



n = l 



Nous énoncerons encore le théorème suivant : 



III. Si la série y -^ est m fois indéterminée pour une valeur >r„ de œ, elle 

 I 

 est m — I /ois indéterminée pour toute valeur x satisfaisant à la condition 



R(a')>R(-^o) + i. 

 Par conséquent. 



^m— I — ''m= !• 



En introduisant la notion d'une série uniformément indéterminée, on peut 

 démontrer le théorème suivant, analogue à un théorème de M. Cahen con- 

 cernant la série de Dirichlet dans son domaine de convergence ; 



IV. La fonction représentée à droite de R(a7) ;= A„, par la moyenne de la 

 série de Dirichlet m fois indéterminée sera une fonction analytique et régu- 

 lière dans tous les points de ce domaine, c est-à-dire pour R(.2^) > A„,. 



Or, dans le domaine de convergence, la valeur moyenne de la série (con- 

 sidérée comme série m fois indéterminée) coïncidera avec la somme de la 

 série (considérée comme série convergente). Par conséquent, si Xm<!^oj ^^ 

 moyenne de la série m fois indéterminée nous donnera, pour À„ ^ R(a?) > ^mi 

 le prolongement analytique de la fonction définie dans le domaine de conver- 

 gence [pour R(a;) <^ A„] par la somme de la série (-). 



Nous allons donner une application des propositions présentées ci-dessus 



(') Sur la fonction Ç(i) de Riemann et sur des fonctions analogues {Thèse 

 Paris, 1894). 



(*) Il résulte immédiatement de la projiosition susdite que, pour tous les m, 

 Im^l, ou / désigne le nombre réel le plus petit satisfaisant à la condition que la 

 fonction définie par la série soit régulière à droite de R(^)=z/, c'est-à-dire pour 



R(^)>/. 



