SÉANCE DU II JANVIER I909. 79 



à la série spéciale ^ ^^ — > qui, comme ou le sait, dans son domaine de 



convergence [pour R(a')>-oJ, représente la fonction 'C(;r)(i — 2'^"^). 

 Nous aurons ici le théorème suivant, dont la démonstration est assez facile: 



V. La séné ^ — est m fois oscillanle entre des limites finies pour 



1 

 X ^^ — m. 



Partant de là, le théorème I nous montre immédiatement que X„ ^ — m. 



Le théorème V nous apprend que la série y. ^ — yjew^ servir à définir 



1 

 la fonction C(a;)(i — 2'"-^) datis tout le plan. En effet, pour x^"^ o, la série 



2_t T^ — sera m fois convergente et aura la somme 



Ç(a;„)(i-2'— 0); 



pour —m<Cx^S—m+i, la série 7 -. — sera m fois indéterminée et de 



l 



la valeur moyenne Ç(.r„)(i — 2'~'») ('). 



Il résulte encore immédiatement, de la proposition V, que la fonction 

 'C(a;)(i — 2'"-^) ne peut avoir aucune singularité à distance finie de l'ori- 



(') Considérons par exemple j:- = — m {ni nombre positif entier); le théorème V 



SD SO 



~ — = 7 ( — i)"^-' «'" est m fois oscillante entre 



1 1 



des limites finies, mais m + i fois indéterminée avec la valeur moyenne 



Ç(— m)(i — 2'+'"). 



dû 



Or, dans son Mémoire cité, M. Cesàro a déjà regardé la série ^( — j)"+'rt"' [sans 



1 

 aucune relation avec la fonction Ç(.c)(i — ^ 2'"-^')] comme un simple exemple d'une 

 série /?« -4- 1 fois indéterminée, et il a indiqué (en employant une désignation des 

 nombres de BernouUi un peu différente de la désignation généralement employée) 



que sa valeur moyenne est égale à B„,_^,. Par conséquent, nous aurons 



o"'-t-' I B 



ici Ç(— /«) (i — 2'+'") = B„,+,, Ç(— m)z= ii^^tJ-, théorème déjà connu, 



déduit de la représentation de la fonction Ç(a,') par des intégrales. 



