SÉANCE DU II JANVIER 19O9. 81 



quatre dimensions que de cycles distincts ;i deux dimensions. Soit R le 

 nombre de ces cycles. 



On démontre alors aisément (|uo Ton peut obtenir sur une surface 



/(~i-, y, z, t ) =z o (:, paramètre) 



R cycles distincts à deux dimensions, en coupant R cycles distincts à ijuatre 

 dimensions de la variété, avec l'espace z=^:-. Il va sans dire qu'un de ces 

 cycles pourra donner sur la surlace «"^(Xir, z, t ) = n deux ou plusieurs cycles 

 séparés; mais en ce cas on formera la somme de ces cycles en les réunissant 

 par des petites surfaces cylindriques. 



Après une circulation de z, les R cycles ainsi obtenus reviennent en eux- 

 mêmes : on les nommera par suite des cycles invariants. 



Ceci posé, envisageons une intégrale du type 



J J J i 



(p(.r, }', ;, /) étant un polynôme d'ordre w — 4, adjoint à la variété /" 

 d'ordre m.. 



Les périodes de (i), le long des cycles invariants, sont des fonctions uni- 

 formes partout finies de s, et par suite elles se réduisent à des constantes. 



En développant ces périodes dans le domaine de s = :c, comme le fait 

 M. Picard dans un cas analogue, du trouve <pie les constantes susdites 

 sont nulles. 



D'où l'on tire qu'une intégrale double de première espèce 1, attachée à 

 notre variété, ne peut pas donner sur la surface /(a;, y, s, /) = o une inté- 

 grale du type (i). En elTet, dans l'hypothèse contraire, toute période de 1, 

 étant une combinaison des périodes relatives aux cycles invariants, serait 

 nulle. On ariive, par suite, à la conclusion (jue le nombre () des intc grales 

 doubles de première espèce attachées à la variété f ne peut pas surpasser le 

 défaut du système linéaire coupé sur un espace z = z par les rariétés d'ordre 

 7/2 — 4 adjointes à f. 



J'en déduis l'inégalité 



(2) Q = '/i + '/2' 



q^ étant la dilTérence /;^, — />„ entre les genres d'une section ; = s et (p, la 

 difîérence P^ — P„ entre les genres de la variété f elle-même. 



Peut-on transformer (2) en une égalité, comme il arrive dans beaucoup 

 de cas particuliers? Voilà une question très diflicilequi demeure en suspens. 



C. R., 1909, 1" Semestre. (T. CXLVIII, N- 2 ) 1 I 



