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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Un théorème sur les différentielles. 

 Note de M. \V.-H. \'oitng, présentée par M. E. Picard. 



1. Dans le cas où toutes les dérivées partielles de premier, second, . . ., 

 ^ieme Q^dre d'unc fonction f{x^ y) existent au point (a;, y) et ont des 

 valeurs ([ui ne dépendent pas de Tordre dans lequel les différentes dériva- 

 tions par rapport à a; et à y se suivent ( ' ), on peut donner le nom de diff'é- 

 rentielle, ou différentielle totale, d'ordre m, à l'expression suivante : 



r =0 



c'est ce que fait M. Jordan dans son Cours d'Analyse (2" éd., t. I, p. 120). 

 M. Slolz, qui donne celte définition dans son Livre Grundziige der Diffe- 

 rejizial unil Inlegralrechiuing, ajoute qu'il dit que la ioncùon f{x, y) possède 

 une différentielle d'ordre m au point (^x, y), pourvu qu'il soit possible de 

 l'exprimer dans le voisina§:e du point {x, y) de la façon suivante : 



+ — I y ('") 



^ ml] jLd^ ' > 



0'"f{x,y) , 



6,- 



r.w— /■ yr 



', ni—r /■/■ 



OÙ e,, ..., e^, ... tendent vers zéro avec li et k\ c'est dans ce sens que 

 j'euiploie ce terme. 



2. Dans la présente Note, je me propose de démontrer un nouveau théo- 

 rème, qu'on pourrait appeler le théorème fondamental de la théorie des diffé- 

 rentielles des fonctions de deux variables : 



Théorème. — Si y^ et -j- ont tous deu.v leurs différentielles de premier 

 ordre, la fonction f(^x, y) possède une différentielle du second ordre. 



) f 



En etl'et, y^. ^ -j- ayant une dinérenliellc du premier ordre, il nous est 

 permis d'écrire 



(') /.<:(•'■ -t- /'. .'' +- li) -/i(-P. y) = /' ( f'xx -I- «) -I- ^(/xv +- e' ), 



où e et e' ont pour limite zéro quand h et k tendent vers zéro. 



( ' ) De façon i|ue /;, —f'^j,, f'L-y = flyjc —flr^c 



