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Il s'ensuit que quand h et k tendent vers zéro d'une manière telle que j 

 n'ail pas la limite zéro, et par conséquent que 07 n'ait pas la limite zéro, 



m {m -+- h, Y -i- A-, a;, v) a la limite unique f'j.^.. 



D'une manière analogue on démontre que quand h et k tendent vers 



/■ . 

 zéro d'une façon quelconque, pourvu que j n'ail pas la limite zéro, 



m{x -I- h, y -+- k, X, y) a la limite unique /^.j.. 



Si l'on choisit h et k de manière que ni l'un ni l'autre des rapports j, 



J ait la limite zéro, il est évident que 



J y.c — J X) • 



on en déduit cjue, quelle que soit la manière dont h et k tendent vers zéro, 

 m{x -\- h^ y -\- k, x, y) a sans exception une limite unique dont la valeur est 

 celle de J].^ouf',.^.. 

 4. Donc 



f(x -+-/>, y + /.) -/(.r + /,. y)—f{.v, y -+- / ) 4-/(^-, y) = AA (/;, + ?,), 



où e, a la limite zéro quand h et k tendent vers zéro d'une manière quel- 

 conque. 

 Mais 



/>- 



/(.r + A, , ) -/(.r, _)•) = /(/; -H ^^ (/;;^-l- e,). 



/(x, y + A) -/{x, y) = kf\ + ^'j (/;, + e,). 

 En additionnant ces trois équations, on obtient 



f{.r + h.y+k)-f(.r,y) 



= Vx^ '^/\ + 7[ (h''f.cx+'il>l<f".c^ -H /.y;, -t- /i'e,-+-i/ike,-\-k'e,), 



ce qui veut dire que /{x, y) a une différentielle de second ordre. 



h. Le théorème précédent n'est qu'un cas particulier du théorème plus 



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 général suivant : .SV / ^ (n =^ r -\- s) a toujours une différentielle première, 



la fonction fa toujours une différentielle d'ordre 7\ -\-\. 



