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Dans le même ordre d'idées, une fonction satisfaisant aux conditions de 

 Dirichlet sera, pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 271, déve- 

 loppable en série procédant suivant les fonctions 



e'"'-^-4- 9„, (x) (/«entier), 



pourvu que la série 'L\ 0,„(a-) | converge absolument et uniformément. Celte 

 condition est suffisante; il serait facile de trouver les conditions nécessaires 

 et suffisantes, que je n'énonce pas. 



Par exemple, on pourra développer suivant les fonctions 



f,\n^,„x, 



pourvu que la série 



converge absolument. 



([-f,» — "0 



Proposons-nous encore de résoudre l'équation intégrale de première 

 espèce 



f Q(;)[e'-- + /{.r, ;)]fi^5 = 4'("^)- 



Nous nous proposons de déterminer la fonction 9(2) pour les valeurs 

 de 2 comprises entre o et 211; je ne dirai pas en se donnant arbitrairement 

 la fonction '\{oc\ cela serait impossible, mais en se donnant les valeurs 

 de '\>{x^ pour toutes les valeurs entières de x positives ou négatives. 



Pour que cela soit possible, il suffit que la série 



V^(//0 

 et que l'intégrale 



'"ru-, z)d.,- 



l 



convergent absolument et uniformément. 



Je profite de l'occasion pour réparer un oubli involontaire qui m'a été 

 signalé par M. Picard. 



Dans une Note récente, j'ai signalé une série de résultats relatifs respec- 

 tivement aux cas où le noyau de l'équation de Fredliolin devient infini 



obtenu par une autre voie par M. Hilbert. 



d'ordre <-' <! 9' <! 7' •••', le premier de ces résultats avait déjà été 

 " ^ ^ 



