SÉANCE DU IiS JANVIER I909. l5l 



On peul toujours, sans restreindre la généralité, écrire l'équation préce^ 

 dente 



(a) ^(j<, i') -hlii + IJ.V -h v(Â, p.) = o. 



La méthode que j'ai suivie ])our traiter la question exige que l'on résolve 

 d'abord le problème suivant : 



I" Dclerininer loules les équalions du second ordre, du type 



(i) ,-"=a,v'^-a,v'^ + b,v'—l>„ 



dont la solution générale est définie par tine relation de la forme {y.). 

 En voici la solution générale : 

 Si l'on pose 



V{x, Y) ^a,/,.r'y'' 



""- q{j::'r)- Ib^.ry-' 



oti P et Q désignent respectivement des polynômes arbitraires du troisième et du 

 second degré, et ensuite 



,): ():. 



.JJt- ày 



l'équation (xj aur;i la forme 



et l'équation dilTérentielle (i) pourra s'écrire 



'- Q ( J-, y ) ( /-i — .$- ) ( dp d' q — dq d^ p ) 



(1') 



' ^= (7,(1 dq^ — «,| dq- dp H- 0,0 (/'/ dp- — ii„.^ dp^ 



--(p dq — q dp ) ( /; j„ dq- — ù,, dq dp + b^, dp- ) . 



El] d'autres termes, les courbes représentées par l'équation (x) sont les sections de 

 la surface de troisième classe 



X = /?, V = q, Z ^ px + 7/ — c 



par ses plans tangents. On peut encore, en coordonnées {x,y). les regarder comme 

 formant le système dualisli(|ue du précédent, c'est-à-dire comme les courbes de con- 

 tact des cônes circonscrits à la surface du troisième ordre 



_^ |-(.r,.r) 



ayant leur sommet sur cette surface. 



?." Il reste à trouvci- toutes les rquations (1') qui con\ iennent a des lignes géodé- 

 siques. 



