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La façon la plus simple d'exprimer qu'une équation (i) convient à des lignes géodé- 

 siques consiste à écrire que l'cqualion an multiplicateur de Jacohi admet une 



solution de la forme 



_ s 



(e-+-2/r'-t-^i''^) ^ 



s (111 



1- 

 i- 



On obtient pour déterminer e, /, g quatre équations linéaires et liomôgènes 

 premier ordre qui déterminent [sauf le cas (Liouville, Lie) des surfaces représeï 

 tables géodésiquemenl sur elles-mêmes] e, /, g à un facteur constant près. La cond 

 tien de compatibilité est une relation de quatrième ordre entre les coefficients a,,, a,, 

 bi. bo, dont la formation elTective paraît difficile. 



Dans le cas actuel, on peut éviter la considération de cette relation en observant 



f|ue, pour une équation 



v"—p{u, v) 9(«, is (•'), 



est un multiplicateur lorsqu'on a identiquement 



1 



? 



i)<i do . 



Ou ov 

 [ce qui a lieu pour (i')]- 



On a alors une intégrale firemiére de la forme 



(«■-t- 2 /.•'-+--<•'-)■' 



■ '■ =C0I1SI., 



rp- 



et la connaissance de l'équation finie des géodésiques permet d'écrire une équation 

 fonctionnelle qui détermine e, /, g. La discussion complète de cette équation paraîtra 

 prochainement dans un travail étendu. 



III. La remarque précédente suffit à établir que, pour toute équation 



(2) ('■■'= p(j<, (')0((/, C, (■'), 



oïl 



ùo Oo , 



<)u ()i- 



qui convient à des géodésiques, ce qui n'exige pour p(u, ^') qu'une condition 

 du quatrième ordre difTérentiel, on connaît une intégrale première avec une 

 constante; les géodésiques s'obtiennent alors par deux quadratures, ^une^ 

 d'elles intervenant dans la détermination de e,J\ g. 



(^ette observation s'étend à tout problème de variations relatif à une inté- 

 grale /(u, (', v')du qui conduit à une équation (2); la relation 9-777 = (' 



est une intégrale première et la solution générale s'obtient par une quttdru- 

 ti/re. 



