SÉANCE DU l8 JANVIER I909. l53 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une généralisation d' un théorème de Jacolii . 

 Note de M. W. Stekloff, présentée par M. Emile Picard. 



I. Je vais attirer l'attention sur une généralisation d'un théorème do 

 Jacobi établi dans la So*" Leçon de ses Vorlesungen liber Dynamik. 



Ce théorème généralisé peut être considéré comme une base véritable de 

 la théorie des équations aux dérivées partielles du premier oi'dre, ainsi que 

 celle des équations canoniques. Il conduit, avec une simplicité qui ne 

 laisse presque rien à désirer, à tous les résultats les plus iaqjortants de 

 recherches de S. Lie et de Mayer, à l'aide de considérations tout à fait élé- 

 mentaires. La démonstration même du théorème dont il s'agit est aussi 

 élémentaire et ne représente qu'une modification légère de celle que Jacolii 

 a donnée pour son théorème, mentionné au début de cette Note. 



C'est pourquoi je me permets de publier mes pensées sur ce sujet, bien 

 que nous ayons maintenant assez de travaux, parmi lesquels je citerai ceux 

 de MM. Mayer, Morera, Russyan et Saltikovv, poursuivant le même but de 

 s'affranchir de considérations complicjuées, étrangères au problème pris 

 en lui-même, et de le placer dans la voie classique indiquée par Lagrauge, 

 Caucliy, Liouville, Bour et Jacobi. 



2. J'énoncerai ce théorème, que j'appellerai théorème généralisé de 

 Jacobi, comme il suit : 



Soient 



/n J'i, ■■■, /,„ ■■■■ /p (p=2«— f/,7 J/i) 



in — q fonctions indépendantes de in variables 



Supposons, en général, que les équations 



(I) fj=^j (,/ = •' 2, ..., p), 



Ky désignant des constantes arbitraires, soient résolubles par rapport à 

 •zn — q quantités -• 



Introduisons les notations suivantes : 



(^•) 



