tS/j académie des sciences. 



On trouve, en résolvant les équations (i), 



\ odg— cB.,(a;j, X,, . . ., j-;,, c(,, a,, . . . , 3(p) (s — ;/ -h i , . . - , /(). 



( 2 ) 



( P'i— 4''('^'l' ■*'?' • • •! •^/> «U «2, ■ • -, «o) (« = I, ■•!, . . ., «). 



Supposons que les fonctions /", soient telles que les expressions (n ), eYa/j/ 



n 



substituées dans y p'-dx]^ la réduisent. à une différentielle exacte 



(P) 





La fonction U e'/a/i? déterminée par une quadrature, formons z ^ m — y 

 fondions 



(3) ''=d^,- 1 ^-^ (./ = .,.,..., Pi. 



- - '/ ' 



£"71 y remplaçant a, /;a/' /ewr* expressions (i), on obtient p fonctious ¥ j sa- 

 tisfaisant aux conditions 



p 



(4) {/„., Fe)=>;/4,,(/„„ /,) + £,„,,, 



/ = l 



o» £,„,,= (), 47 wî</, e/ £,„,e= I, *î w ^/; A',, ^ désignent certaines fonctions 

 de x- et p\\ le symbole (!p, 'ji) désigne les parenthèses de Poisson, prises par 

 rapport aux variables x- et p.. 



Si l'on remplace dans fj, Vj les variables x'., p\ par les variables ird- 

 tiales .r,, /;, à l'aide de ( a ), on fera correspondre à p fonctions données 

 fj le même nombre de fonctions ¥j (de -m variables x^, p,) vérifiant les 

 égalités (4), où il faut entendre par le symbole (ç-, ■\i) les parenthèses de 

 Poisson, prises par rapport aux variables x,, pi. 



3. Voici, en quelques mots, la démonstration du théorème énoncé. 



On a, évidemment, 



i'^\ i r F ^— /• -^-V '^^^u /■ /• \ /■ -V '^'''' '^-f'" V '^^^^ '^■1'"'. 

 (5) (y,„,i,)„/,„,.,+2,^/./'-.A)- '"•'-■ -2uô7,^,r' ■^M'Ws 



1 = 1 /, = ) ,< = 7 + 1 



D'autre part, on aies identités 



// If n 



.... V àf,„àx,y^d/,„d/j, -y '^f'" ^''' ., —r, 



-^ âa\ axc — J ap/. oy., -^^ Op^ Oxc 



