SÉANCE DU I(S JANVIER 1909. l55 



Cl 



> = 7 + 1 1 = 1 



Les identités ( 7 ) conduisent immédiatement à p relations 



(8) (U/j) + 2 ^■'■"' I77 +2 '••'.'" !)^ = ° (y - ., 2, . . .. p), 



.V = 7 + I 



qui donnent 



/. = 1 , = 1 



Or, en vertu de ((j) et de (p j, 



J/A 



/ - V A "''' . 



Substituant cette expression de lt„,^ dans(5), on obtient les égalités (4)- 

 Ce théorème a des applications importantes. 



ANALYSE MATHKMATIQUE. — Toute fonctionnelle continue est cléveloppable en 

 série de fonctionnelles ci' ordres entiers. Note de M. Maurice Fréchet, 

 présentée par M. Emile Picard. 



Convenons avec M. Hadamard qu'une fonctionnelle réelle U^;^, est dé- 

 finie dans le champ des fonctions continues s'il existe une correspondance 

 telle qu'Èt toute fonction /"(^c) réelle et continue dans (a, è) correspond un 

 nombre réel déterminé \jf(xf La fonctionnelle sera dite continue si U„(^, 

 tend vers LI^^J;) quand 0(37) est une fonction réelle continue qui tend vers 

 f{x) uniformément dans (rt, h). 



Nous allons monlrer (lu'en généralisant d'une façon toute naturelle une 

 propriété caractéristique des polynômes réels, on peut étendre aux fonc- 

 tionnelles continues le théorème de Weierstrass relatif au développement 

 d'une fonction continue en série de polynômes. 



