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Pour cela je remarque d'abord qvion peut définir les polynômes réels de 

 degré n au plus comme étant les fonctions réelles continues tes plus générales 

 ■ii(.r) qui vérifient l'identité 



/( a;, H- x, + . . . -t- j:„+i ) — T] /{ JC,^ 4- ^/^ -I- ... H- a:,,_ ) 



-+-2].A-^„ + - • ■ + -^-„-,) -• • • + (- ')"]S/(^-„) + {- i)«-'/(o) = o, 



n — i 1 



quels que soient les nombres réels Xf^x.,, ..., x,,^, (') V désignant la somme 



des termes obtenus en remplaçant (i,, «.,, .... /;. ) par l'une quelconque des 

 combinaisons des n -h i premiers entiers k k k . 



J'appelle alors fonctionnelle d'ordre n toute fonctionnelle continue U/- 

 qui vérifie l'identité 



n 

 n — I 1 



quelles que soient les n + i fonctions y,(.rj,/"5(a;), .. .,/„^., (a--), réelles, 

 continues dans («, b) (sans vérifier l'identité obtenue en remplaçant n par 

 un entier inférieur). 



Le théorème annoncé peut maintenant s'énoncer ainsi : 



Toute fonctionnelle continue peut être représentée par la somme d'une série 

 convergente de fonctionnelles d'ordres entiers ('-). 



(') Ce ihéorème, qui fournit une aéfinition fonctionnelle des polynômes, se réduit 

 pour « := I à une proposition classique due à Caucliy. II s'étend facilement aux fonc- 

 tions de plusieurs variables et même aux fonctions d'une suite infinie de variables. 



(-) L'énoncé reste encore exact si la fonctionnelle est définie dans tout le champ des 

 fonctions f{x) sommables et de carrés sommables au sens de iM. Lebesgue et si sa 



continuité est telle qiieUç tende vers L'y quand / [f{x) — 9(cr)]-(r/.r tend vers zéro 



(cas que j'ai déjà considéré ici même, Comptes rendus de juin 1907). 



