SÉANCE DU 2D JANVIER 1909. 219 



cela, supposons la portion de surface S voisine de F rapportée à un système 

 de courbes coordonnées, formé par les lignes géodésiques orthogonales à F 

 et les courbes parallèles à F; on a, dans ce système, 



(1) ds^ — dii- + C'ch'-', 



la courbe F ayant pour équation 11 = o. Si l'on a pris pour la variable i' l'arc 

 de la courbe F, C(ii, r) se réduit à l'unité pour u = 0. Désignons par C, (i'), 

 C.,(v), C:,(v) les fonctions de p qu'on obtient en faisant ;/ = o dans les 



trois dérivées partielles -r— ' -r-^ > -r^; nous supposerons, pour tixer les idées, 

 '^ au au- ou '■ "^ '■ 



que ces fonctions sont régulières dans un intervalle («, h), a e\. b étant les 

 valeurs de v qui correspondent aux extrémités A et B de l'arc de courbe F. 

 La fonction C, (c) représente la courbure géodésique de F, tandis que — C^ 

 est égal à la courbure totale de la surface en un point de F. Puisque la sur- 

 face est à courbure totale négative, on a C, ]> o tout le long de F. 



L'équation aux dérivées partielles du problème de la déformation est, 

 avec ce système de coordonnées (Darboux, loc. cit., p. 262), 



C{rt — s^)-hr(C^—-p -7 -h2çs 



(2) 



du ' âv ' I ^ du 

 du 



^''^-tP'-—(] 



(PC _!_ /àcy 



du' C\du 



c-^'^'^ 



du'' 

 Pour que la multiplicité d'éléments M, définie par les relations 



(3) U—O, 3=r9„(r), /? = cp,((^), 7 = cp',(l') 



soit une multiplicité caractéristique de l'équation (2), il faut et il suffit que 

 '^o{^) et 9i((') vérifient les deux relations 



Ci9, = o, 



(4/ 



( (?i )"-— 2C, cp'„çp', + Cj(9; )■- + CaCcp-; -(- cp'o' — I) = o, 



qui peuvent être remplacées par le système suivant 

 en posant 



il serait facile d'en déduire les résultats de M. Darboux, rappelés au début 

 de cette Note. 



