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La multiplicité M, étant une multiplicité caractéristique, il résulte des 

 théories générales que l'équation (2) admet une infinité d'intégrales admet- 

 tant tous les éléments de cette multiplicité. Mais il n'est pas certain qu'il 

 existe des intégrales régulières dans tout l'intervalle (a, b). Soient en 



eflét z = F(m, v) une de ces intégrales et (pa(t') la dérivée ( j • En 



différentiant l'équation (2) par rapport à u et tenant compte des rela- 

 tions (5), on trouve que cette fonction '^^ doit satisfaire à une équation de 

 Riccati qui, en posant 



o 



devient 



(6) +4,2^ U, 



dv \R 3 T / 4 H 4 H^ 



Cette transformation suppose toutefois que C,(f) n'est pas nul, c'est-à-dire 

 que r n'est pas une ligne géodésique. Dans ce cas particulier, ©al^") est 

 déterminée par une équation linéaire. Dans le cas général, il peut arriver 

 que l'équation (ti) n'ait aucune intégrale sans point singulier dans l'inter- 

 valle (a, h), et il est alors impossible de déformer la surface S de façon que 

 l'arc AB devienne une ligne asymptotique, sans que la surface déformée 

 n'ait au moins un point singulier sur cette ligne asymptotique. 

 L'intégrale générale de l'équation (6) est donnée par la formule 



(^) *=Z57' 



Z étant l'intégrale générale de l'équation linéaire du second ordre 



--(ï-:T>-(W-ïlr.)-«- 



Les pôles de $ sont les zéros de Z. Supposons d'abord que C, (v) ne s'annule 

 pas entre a et l>. Les coefficients de l'équation (8) sont continus dans l'inter- 

 valle (a, b) et, pour qu'il existe des intégrales ne s'annulant pas dans cet 

 intervalle, il faut et il suffit que l'intégrale particulière qui est nulle pour 

 {> := a n'ait pas d'autre racine entre a et b. Lorsque l'équation C,(i') =; o a 

 des racines entre a et b, ces racines sont des points singuliers apparents 

 pour l'équation (8), et la condition précédente doit être un peu modifiée. 

 Il est facile de déduire de ce qui précède un grand nombre d'énoncés par- 

 ticulier. Supposons, par exemple, que la courbure totale de la surface S 



