SÉANCE DU I" FÉVRIER 1909. ^71 



L'interprétalion géométrique de ces égalités va nous conduire au résultat 

 annoncé. On a, en appliquant les formules (i) aux points D, et D^. dont les 

 coordonnées sont (o, 0,0, i, i"), (o, o, o, i, — «') : 



V^,= rt,i — «i5«, V^,^=a.,4— asjt, V,.,= n34— «3ô<. y..^ = — a.jj, V^^^aji. 



Il suit de là et des relations (3) que les trajectoires des points D,, D.^ 

 sont orthogonales à la sphère S, ('). Réciproquement, lorsque les tra- 

 jectoires des points D,, D.^ seront orthogonales à la sphère S.;, les rela- 

 tions (3) auront lieu (et les trajectoires des points D',, D., seront, elles aussi, 

 orthogonales à Sj) (-). 



De là résulte la solution du problème. On prendra arbitrairement une 

 sphère variable S., (qui peut se réduire à un plan) et deux de ses trajec- 

 toires orthogonales, lesquelles la couperont aux points D,, D,. On con- 

 struira ensuite le quadrilatère D,D,DoD,,, dont les côtés sont isotropes et 

 appartiennent à la sphère S,,. Toute cyclide admettant les points D,, D^, 

 D, , D!, comme points doubles engendrera une famille de Lamé. Or 

 M. Darboux (Levons sur les coordonnées curvilignes) a déteruiiné, sans inté- 

 gration, la famille de sphères la plus générale et ses trajectoires orthogo- 

 nales. On a donc, sans intégration, la famille de Lamé la plus générale 

 composée de cyclides de Dupin. 



La méthode du trièdre mobile perniet aussi de déterininer sans inlégration une 

 sphère mobile et deux de ses trajectoires ortliogonales. Marquons sur l'axe 0.v d'un 

 Irièdre Oxyz deux points D, et D.j d'abscisses + /( et — /(. Si les tangentes aux tra- 

 jectoires de ces points se coupent en un point C de l'axe Oy, la sphère S3 de centre C, 

 passant par Dj et D,, sera évidemment orthogonale aux courbes décrites par les 

 points D, et D,. Désignons, suivant l'usage, par ç, ï), Ç, p, q, r les translations et les 

 rotations du trièdre Oxyz. La propriété ci-dessus se traduit par les trois relations 



(4) Ç = o, q = o, rh—=zeu. 



Des deux premières, on déduit que le plan xO y a pour caractéristique la droite i).v. 

 Laissons de côté le cas, qui se traite aisément, où /■ = o. Si r est ^ o, 0.i- louche 



('; Lorsque la trajectoire d'un des points D,, Do se réduira à un point, celui-ci devra 

 être considéré comme une trajectoire orthogonale de 83. 



(-) L'application de l'équation (2) conduit à une autre interprétation géoniétri((ue 

 des relations (3) : la caractéristique de la cyclide de Dupin se compose des côtés du 

 quadrilatère DiD'jD^D', et d'une courbe sphérique. 



