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son enveloppe en un point M, mobile ou fixe. Supposons-le d'abord mobile. Par le 

 point M, menons les droites My', Ms' parallèlement à Oy, Oz. Le trièdre M.ry' ;' est 

 le trii'dre principal de la courbe (M), lieu du point M, laquelle peut être prise arbi- 

 trairement. Soit ). l'abscisse du point O. Si s est l'arc de la courbe (M) terminé en M, 

 on a, les accents désignant des dérivées prises par rapport à t, 



r = *' + >.', T, = /■>., 



et la tioisième érjualion ('j) peut s'écrire 



(5) lih'—ls'+uJ. 



Si l'on pose 'Ks' ^=- ^l' , b désignant une l'onction arljitraire de /, il viendra, en inté- 

 grant, 



La sphère 83 et les trajectoires des points D,, IJ.j sont maintenant déterminées sans 

 intégration, car on sait (Darbolx, Journal de Malliénialiques pures et appliquées, 

 1887) déterminer sans intégration les coordonnées et l'arc de la courbe la plus 

 générale. 



Lorsque le point M est fixe, ou bien un des points D,, D, coïncide avec M, ou bien 

 ces points sont inverses par rapport à une sphère de centre M. Ici encore la sphère S3 

 et les points D,, D., peuvent être définis sans intégration. 



Revenons au cas général et supposons que le segment DiD., soit constant. Alors, de 

 la relation (5), il suit qu'on aura soit s' -+->/ = o, soit>. =:o. Dans le premier cas, la 

 spiière S., se réduira au plan xO z, lequel roulera sans glisser sur une développable 

 arbitraire. Ce résultat a été indiqué par M. Darboux. Dans le second cas, le point O 

 coïncidera avec le point M et le segment D'j D'^ appartiendra à l'arc de courbure 

 de la courbe (M). Si, de plus, la courbure de celte courbe est constante, le quadrila- 

 tère DiD'jDîD., sera invariable. Celle propriété est une généralisation de celle que 

 M. Haag a fait connaître dans sa Note du 3 août 1908 (t. CXLVII, p. agô). Dans la 

 même Note, M. Haag indique les résultats qu'il a obtenus dans la recherche des sur- 

 faces qui, dans^(/j^3) mouvements hélicoïdaux linéairement indépendants, engen- 

 drent une famille de Lamé. Nous avons complètement résolu ce problème eu 1908 

 {Comptes rendus, t. CXXXM, p. ij^i). 



GÉOMÉTRIE. — Sur les lignes géodésiques, à propos de la récente Noie 

 de M. Drach. Note de M. Hadanard. 



Les Comptes rendus du 18] janvier dernier contiennenl le résumé d'un 

 intéressant travail dans lequel M. Dracli détermine entre autres les élé- 

 ments linéaires dont les géodésiques font partie d'un faisceau linéaire à 

 trois paramètres, et ceux dont les géodésiques peuvent être représentées 

 sur un plan par des coniques. 



